Chủ đề này có 2 trả lời

[Livetolove220797]

Đề Kiểm tra các chuyên đề Toán Đội tuyển Học sinh giỏi Bình Thuận 2014

Thời gian: 180 phút

Câu 1:

 

Cho $q> 0$ và phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có nghiệm.

Chứng minh rằng phương trình

$2ax^{2}+\left ( q^{\sqrt{2}}+q^{-\sqrt{2}} \right )bx+\left ( q^{2}+q^{-2} \right )c=0$

có nghiệm.

 

Câu 2:

 

Xét dãy số $x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=1, x_{3}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, x_{4}=\sqrt{x_{2}x_{3}}, x_{5}=\frac{x_{3}+x_{4}}{2}, x_{6}=\sqrt{x_{4}.x_{5}}, ...$

Tính $lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}$.

 

Câu 3:

Cho tứ giác lồi $ABCD$.

1. Giả sử các góc trong $A, B, C$ không nhọn. Chứng minh rằng: $AC\leq BD$.

2. Giả sử tứ giác nội tiếp trong đường tròn. Chứng minh rằng:

$\left | AB-CD \right |+\left | AD-BC \right |\geq 2\left | AC-BD \right |$.

 

Câu 4: 

 

Cho $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$ và $3x+2y+z\leq 4$. Tìm giá trị lớn nhất của

$M=3x^{3}+2y^{3}+z^{3}$.

[hoctrocuaZel]

Câu 3:

Cho tứ giác lồi $ABCD$.

1. Giả sử các góc trong $A, B, C$ không nhọn. Chứng minh rằng: $AC\leq BD$.

 

Làm được mỗi câu 3/1/

 

3/1/

Ta có: $\angle A,B,C\geq 90$. Do đó: BD nằm trong (trên) đường tròn đường kính AC. Nên suy ra: $AC\geq BD$

Dấu bằng: $ABCD$ là hình chữ nhật

[nntien]

Câu 4: (Gợi ý)

Sử dụng nhóm Abel:

Ta có:

$z^2+2y^2+3x^2=z.z+2y.y+3x.x=(z-y)z+(y-x)(z+2y)+x(z+2y+3x)\leq (z-y).1+(y-x).3+4x = z+2y+x=\frac{1}{3}[z.3+2y.3+3x.1]=\frac{1}{3}[(3-3)z+(3-1)(z+2y)+1.(z+2y+3x)]\leq \frac{10}{3}$

 

Ta phân tích: $z^3+2y^3+3x^3=z^2.z+2y^2.y+3x^2.x$ và tương tự như trên suy ra được:

$z^3+2y^3+3x^3\leq \frac{28}{9}$