Bài 31: Cho $a_1,a_2,a_3...$ là một dãy số thực dương. Giả sử với một số nguyên dương $s$ cho trước, ta có $$a_n=\max\{a_k.a_{n-k}:1\le k\le n-1\}$$
với mọi $n>s$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $l$ và $N$, với $l\le s$ thỏa mãn $a_n=a_l.a_{n-l} \forall n\ge N$.
Đặt $b_n=\ln a_n$, ta có bài toán IMO2010 P6 :
Cho $b_1,b_2,b_3,..,b_{s},...$ là dãy số thực dương. Giả sử với 1 số nguyên dương $s$ cho trước, ta có $b_n=\max\{b_k+b_{n-k}:1\leq k \leq n-1\}\forall n>s$. Chứng minh rằng tồn tại $l,N$, $l\leq s$ thỏa mãn $b_n=b_{l}+b_{n-l}\forall n\ge N$.
Giải như sau :
Với mọi $n>s$, ta có thể phân tích $b_n=b_{i_{1}}+b_{i_{2}}$ với $i_1+i_2=n, 1\leq i_1,i_2\leq n-1$, nếu $i_1$ hoặc $i_2>s$, ta lại tiếp tục phân tích như vậy, tóm lại ta có thể viết $b_n$ dưới dạng :
$$b_n=b_{i_1}+b_{i_2}+...+b_{i_{k}}\,\,\,\,(1\leq i_j\leq s\forall j=\overline{1;k}, \, i_1+i_2+...+i_k=n)$$
Gọi $l\in \{1;2;...;s\}$ là 1 chỉ số sao cho $\frac{a_l}{l}=r=\max_{1\leq i\leq s} \frac{a_i}{i}$.
Xác định dãy $\{x_n\}$ : $x_n=b_n-rn\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$, lúc đó $x_l=0$ và ta có :
$$x_n=b_n+rn=\max_{1\leq k\leq n-1}(b_k+b_{n-k})+rn=\max_{1\leq k\leq n-1}(b_k+b_{n-k}+kr+(n-k)r)$$
$$=\max_{1\leq k\leq n-1} (x_k+x_{n-k})$$
Từ đó dễ dàng suy ra $x_n\leq 0\forall n\in\mathbb{Z}^{+}$ và $$x_n=x_{i_1}+x_{i_2}+...+x_{i_{k}}\,\,\,\,(1\leq i_j\leq s\forall j=\overline{1;k}, \, i_1+i_2+...+i_k=n)$$
$\bullet$ Nếu $x_k=0\forall k\in {1;2;..;s}$ thì $x_n=0\forall n\in\mathbb{Z}^{+}$ hiển nhiên có đpcm.
$\bullet$ Nếu tồn tại $k \, : \, x_k\neq 0$ với $k\in {1;2;...;s}$. ta đặt
$$M=\max_{1\leq k\leq s} |x_k|, m=\min_{1\leq k\leq s} |x_k| \,\,(x_k<0)$$
Lúc đó $\forall n>s$, ta có : $x_n=\max{x_k+x_{n-k}}\ge x_{n-l}+x_l=x_{n-l}$, vậy nên :
$$0\geq x_n\geq x_{n-l}\geq ...\geq x_{n-l.\left[\frac{n}{l}\right]}\geq -M$$
(Do $l\leq s$ nên $n-l.\left[\frac{n}{l}\right]\leq s$, lúc đó $x_{n-l.\left[\frac{n}{l}\right]}\geq -M$)
Vậy tóm lại $x_n\in [-M;0]\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$. Mặt khác ta sẽ chứng minh tập sau chỉ có hữu hạn giá trị :
$$\{x_{i_1}+x_{i_2}+...+x_{i_{k}}\} \cap [0;-M]\,\,\,\forall 1\leq i_j\leq s$$
Thật vậy gọi $t$ là số chỉ số $i$ sao cho $x_i \neq 0$, lúc đó $x_{i_1}+x_{i_2}+...+x_{i_{k}}\leq t.m\Rightarrow -M\leq t.m \Rightarrow t\leq \frac{M}{m}$.
Vậy chỉ có hữu hạn chỉ số $i$ sao cho $x_i \neq 0$ mà chỉ có $s$ giá trị của các $x_i\,\, \Rightarrow $ có hữu hạn giá trị $\{x_{i_1}+x_{i_2}+...+x_{i_{k}}\} \cap [0;-M]\,\,\,\forall 1\leq i_j\leq s$ hay chỉ có hữu hạn giá trị $x_n\, n\in \mathbb{Z}^{+}$.
Xét dãy $x_n,x_{n+l},x_{n+2l},.....$ là 1 dãy giảm bị chặn dưới và có hữu hạn giá trị $\Rightarrow $ nó là dãy hằng kể từ 1 chỉ số đủ lớn nào đó. Cho $n$ chạy qua hệ thặng dư đầy đủ mod $l$, thì dễ thấy $(x_n)$ là dãy tuần hoàn chu kì $l$ kể từ 1 giá trị $N$ đủ lớn. Lúc đó :
$$x_n=x_{n-l}=x_{n-l}+x_l\forall n>N+l$$
$$\Rightarrow b_n=b_{n-l}+b_l\forall n>N+l$$
Kết thúc chứng minh.
=========================================================================
Vậy là đã giải quyết gần xong đống bài còn tồn đọng, từ giờ anh Nam bận 1 thời gian nên topic sẽ do các ĐHV Olympic và tổng hợp quản lí. Các bạn có thể post bài mới và tham gia thảo luận tiếp tục từ đây.
Chú ý là chúng ta nên post bài đúng với trọng tâm của đề thi quốc gia những năm gần đây như pt, hpt, dãy số, hình học, tổ hợp (đặc biệt là tổ hợp số học hoặc số học tổ hợp hoặc hình học tổ hợp).
Vậy thôi, chúc các bạn ôn thi VMO tốt hơn với topic.
P/s : Đã sửa đề bài 32.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-11-2014 - 17:47