Những bài chưa được giải. Lưu ý ai giải được 1 trong số các bài dưới đây mới được tiếp tục đăng đề, còn tự ý đăng đề sẽ bị ẩn + 1 lần nhắc nhở.
Bài 16: Cho $A,B,C$ là 3 góc của một tam giác. CMR:
$cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{B-C}{2}+cos\frac{C-A}{2}\geq sin\frac{3A}{2}+sin\frac{3B}{2}+sin\frac{3C}{2}$.
cách 1:
ta có $\left\{\begin{matrix} \sum cos\frac{B-C}{2}=2\sum sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+\sum sin\frac{A}{2}\\ \sum sin\frac{3A}{2}=\sum \left ( 3sin\frac{A}{2}-4sin^3\frac{A}{2} \right ) \end{matrix}\right.$ do đó ta cần chứng minh
$2\sum sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+4\sum sin^3\frac{A}{2}-\sum sin\frac{A}{2}\geq 0$
mà $\left\{\begin{matrix} 2\sum sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\sum sin\frac{A}{2}\left ( sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \right )\\4\sum sin^3\frac{A}{2}=2\sum \left ( sin^3\frac{B}{2}+sin^3\frac{C}{2} \right ) \\ 2\sum sin\frac{A}{2}=\sum \left ( sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \right ) \end{matrix}\right.$ nên bđt cần chứng minh
$\Leftrightarrow \sum \left [ sin\frac{A}{2}\left ( sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \right )+2\left ( sin^3\frac{B}{2}+sin^3\frac{C}{2} \right )-\left ( sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \right ) \right ]\geq 0$
giờ ta sẽ chứng minh $sin\frac{A}{2}\left ( sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \right )+2\left ( sin^3\frac{B}{2}+sin^3\frac{C}{2} \right )-\left ( sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow sin\frac{A}{2}+2\left ( sin^2\frac{B}{2}-sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+sin^2\frac{C}{2} \right )-1\geq 0$
$\Leftrightarrow sin\frac{A}{2}+(1-cosB)+\left ( cos\frac{B+C}{2}-cos\frac{B-C}{2} \right )+(1-cosC)-1\geq 0$
$\Leftrightarrow 1+2sin\frac{A}{2}\geq cosB+cosC+cos\frac{B-C}{2}$
điều này luôn đúng do $\left\{\begin{matrix} 1\geq cos\frac{B-C}{2}\\2sin\frac{A}{2}\geq cosB+cosC \end{matrix}\right.$
do đó bđt được chứng minh
cách 2:
đặt $x=\frac{A}{2},y=\frac{B}{2},z=\frac{C}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x,y,z\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\\ x+y+z=\frac{\pi }{2} \end{matrix}\right.$
ta có $sin\frac{3A}{2}-cos\frac{B-C}{2}=sin3x-cos(y-z)=sin3x-sin(x+2y)=-2sin(x-y)sin(x-z)$
do đó ta cần chứng minh $\sum sin(x-y)sin(x-z)\geq 0$
không mất tính tổng quát giả sử $0<x\leq y\leq z< \frac{\pi }{2}$
bđt cần chứng minh $\Leftrightarrow sin(x-y)sin(x-z)+sin(z-y)\left [ sin(z-x)-sin(y-x) \right ]\geq 0$
điều này luôn đúng bởi hàm số $y=sin\alpha$ là hàm đồng biến vơi $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$
do đó bđt được chứng minh
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-12-2014 - 00:06