Chủ đề này có 1 trả lời

[hoctrocuanewton]

Cho  : $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 \end{matrix}\right.$  

 

Tìm GTLN của : $P=\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$

[Hoang Tung 126]

Cho  : $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 \end{matrix}\right.$  

 

Tìm GTLN của : $P=\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$

Theo Bunhia có $P^2=(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}})^2=(\sum \sqrt{a}.\sqrt{\frac{a}{a^2+b+c}})^2\leq (\sum a)(\sum \frac{a}{a^2+b+c})\leq \sqrt{3(\sum a^2)}(\sum \frac{a}{a^2+b+c})=3(\sum \frac{a(1+b+c)}{(a^2+b+c)(1+b+c)})\leq 3(\sum \frac{a+ab+ac}{(a+b+c)^2})=\frac{3((\sum a)+2\sum ab) }{(\sum a)^2}\leq \frac{3(\sum a^2+2\sum ab)}{(\sum a)}^2=\frac{3(\sum a)^2}{(\sum a)^2}=3= > P\leq \sqrt{3}$

 

 Do $\sum a\leq \sqrt{3(\sum a^2)}=3=\sum a^2= > \sum a\leq \sum a^2$

 

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$