Chủ đề này có 11 trả lời

[Brainytrick]

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = AC = a$.

a) Lấy điểm $D$ trên cạnh $AC$ và điểm $E$ trên cạnh $AB$ sao cho $AD = AE$. Các đường thẳng vuông góc với $EC$ vẽ từ $A$ và $D$ lần lượt cắt cạnh $BC$ ở $K$ và $L$. Chứng minh $BK = KL$.

b) Một hình chữ nhật $APMN$ thay đổi có đỉnh $P$ trên cạnh $AB$, đỉnh $N$ trên cạnh $AC$ và có chu vi luôn bằng $2a$. Điểm $M$ di chuyển trên đường nào?

c) Chứng minh khi hình chữ nhật $APMN$ thay đổi thì đường vuông góc vẽ từ $M$ xuống đường chéo $PN$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

@MOD:Bạn xem lại cách đặt nhan đề + latex!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 14-11-2014 - 10:10

[Brainytrick]

Cho tam giác ABC, vẽ bên ngoài 2 tam giácvuông cân ABD và ACE, vuông tại B và C. Gọi M là trung điểm của DE. CMR: tam giác MBC là tam giác vuông cân

[Phung Quang Minh]

Lấy N đối xứng với B qua M. Ta có tam giác DMB=tam giác EMN (c.g.c) nên có EN=DB=BA; và EN// DB. Suy ra góc NEC= góc BAC.(tự chứng minh nhé) => tam giác BAC= tam giác NEC(c.g.c). => NC=BC và góc NCB=góc ACE=90 độ. Tam giác NCB vuông cân tại C có M là trung điểm của BN nên tam giác BMC vuông cân tại M. => đpcm

[Brainytrick]

Cho mình hỏi,cái chỗ chứng minh góc ENC=góc BAC có được nói:

Vì EN vuông góc với AB,EC vuông góc với AC nên góc tạo bởi EN và EC bằng góc tạo bởi AB và AC hay góc BAC=góc NEC

không ?

[Phung Quang Minh]

Không được đâu bạn vì 2 góc tạo bởi EN và EC và góc tạo bởi AB và AC chỉ bằng nhau khi cùng nhọn hoặc cùng tù thôi. Nếu muốn làm cách của bạn phải chỉ ra 2 góc cùng nhọn hoặc cùng tù mới đúng được.

[vkhoa]

giải bài đầu

(hình vẽ ở cuối mỗi câu)

a)Gọi R, Q lần lượt là giao của CE với AK, DL

từ B lần lượt hạ BS, BT vuông góc CE, AK tại S, T

ta có $\widehat{ACR} =\widehat{BAT}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (1)

có AC =BA (2)

$\widehat{ARC} =\widehat{BTA} =90^\circ$ (3)

từ (1, 2, 3) =>$\triangle ARC =\triangle BTA$ (góc nhọn, cạnh huyền =nhau)

=>RC =TA (4)

tam giác CAE và ATB vuông và có $\widehat{ACE} =\widehat{TAB}$

=>$\triangle CAE\sim\triangle ATB$ (g, g)

=>$\frac{AE}{AC} =\frac{TB}{TA}$ (5)

có AK //DL =>$\frac{RQ}{RC} =\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AC}$

mà có (5) =>$\frac{RQ}{RC} =\frac{TB}{TA} =\frac{SR}{TA}$

mà có (4) =>RQ =SR (6)

có RK //BS //QL và (6) suy ra BK =KL

 

 

 

b)Qua M kẻ đường thẳng cắt AB, AC tai B', C' sao cho AB'C' vuông cân tại A

ta có B'PM vuông cân tại P

có chuvi(APMN) =2 .(AP +PM) =2 .(AP +PB') =2 .AB' =>AB' =a =AC'

=>B' trùng B, C' trùng C =>M di chuyển trên BC

 

 

 

 

 

c)đường thẳng qua M vuông góc PN cắt AC tại Q

dường thẳng qua C vuông góc AC cắt MQ tại D

có $\widehat{ANP} =\widehat{CDQ}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

và $\widehat{NAP} =\widehat{DCQ}$

=>$\triangle ANP\sim\triangle CDQ$ (g, g)

=>$\frac{QC}{CD} =\frac{PA}{AN} =\frac{MN}{MP} =\frac{MN}{BP}$ (7)

ta có $\triangle MNC\sim\triangle BPM$

=>$\frac{MN}{BP} =\frac{MC}{BM}$ (8)

từ (7, 8) => $\frac{QC}{CD} =\frac{MC}{BM}$ (9)

mặt khác CM phân giác QCD =>$\frac{CQ}{CD} =\frac{MQ}{MD}$ (10)

từ (9, 10) =>$\frac{MC}{MB} =\frac{MQ}{MD}$

=>BD //AC

=>ABDC là hình vuông

=>D cố định

=>QM luôn đi qua điểm cố định D

 

 

 

bài thứ 2 tui có cách giải khác, có cần không mình post lên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 16-11-2014 - 15:17

[Brainytrick]

uk,thế cũng được,cảm ơn bạn nhiều nha 

[vkhoa]

bài thứ 2

(hình vẽ bên dưới)

Lấy N là trung điểm DA

NM //AE =>$\widehat{NAE} +\widehat{ANM} =180^\circ$ (1)

có $\widehat{NAE} =\widehat{NAB} +\widehat{BAC} +\widehat{CAE} $

$=45^\circ +\widehat{BAC} +45^\circ$

=>$\widehat{NAE} =\widehat{BAC} +90^\circ$ (2)

thế (2) vào (1) ta được 

$\widehat{ANM} =90^\circ -\widehat{BAC}$ (3)

mặt khác NB vuông góc AD =>$\widehat{BNM} =90^\circ -\widehat{MNA}$ (4)

từ (3, 4) =>$\widehat{BNM} =\widehat{BAC}$ (5)

ta có $\frac{BN}{MN} =\frac{\frac{AB}{\sqrt{2}}}{\frac{AE}{2}}$

$=\frac{AB .\sqrt{2}}{AE} =\frac{AB .\sqrt{2}}{AC .\sqrt{2}} =\frac{AB}{AC}$

=>$\frac{NB}{AB} =\frac{NM}{AC}$ (6)

từ (5, 6) =>$\triangle BNM\sim\triangle BAC$ (góc = nhau xen giữa cặp cạnh tỉ lệ)

=>$\widehat{NBM} =\widehat{ABC}$ (7) và $\frac{BN}{BA} =\frac{BM}{BC}$(8)

(7)<=>$\widehat{NBA} +\widehat{ABM} =\widehat{ABM} +\widehat{MBC}$

<=>$\widehat{NBA} =\widehat{MBC}$ (9)

từ (8, 9)=>$\triangle NBA\sim\triangle MBC$

mà NBA vuông cân tại N =>MBC vuông cân tại M(đpcm)

(bài giải dùng tính chất tam giác vuông cân thì cạnh huyền=$\sqrt{2}$ .cạnh góc vuông, chứng minh bằng Pitago)

 

 

[Phung Quang Minh]

Bạn ơi cách mình không dùng ta lét. Bạn tham khảo xem nhé:
a) Gọi LD cắt AB tại H. Ta có góc AHD=góc ACD( cùng phụ với góc AEC); AE=AD.
=> tam giác AHD=tam giác ACE(cạnh góc vuông- góc nhọn)
=> AH=AC. Mà AC=AB=> A là trung điểm của BH.
-Tam giác BHL có AK là đường trung bình nên suy ra K là trung điểm của BL
=> đpcm.

[Phung Quang Minh]

Phần b): -Do P(ANMP)=2a=> AP+AN=a.
- Lấy M' Thuộc BC sao cho M'N vuông góc với AC.
- Ta có: tam giác NM'C là tam giác vuông cân tại N=> NM'=NC.(1)
-Mà AP+AN=a=AN+NC => NC= AP(2).
-Từ (1);(2) => NM'=AP; NM' vuông góc AC; AP vuông góc với AC=> tứ giác ANM'P là hình chữ nhật. Mà ANMP cũng là hình chữ nhật. => M trùng với M'.
Suy ra M đi chuyển trên BC.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phung Quang Minh: 17-11-2014 - 23:18

[Phung Quang Minh]

Bạn ơi cách mình không dùng ta lét. Bạn tham khảo xem nhé:
a) Gọi LD cắt AB tại H. Ta có góc AHD=góc ACD( cùng phụ với góc AEC); AE=AD.
=> tam giác AHD=tam giác ACE(cạnh góc vuông- góc nhọn)
=> AH=AC. Mà AC=AB=> A là trung điểm của BH.
-Tam giác BHL có AK là đường trung bình nên suy ra K là trung điểm của BL
=> đpcm.

[Phung Quang Minh]

Phần c): -Kẻ hình vuông ABDC.Khi đó điểm D sẽ cố định.(1)
-Gọi giao điểm của NM với BD là G. Do M thuộc BC; MG vuông góc BD; MP vuông góc với AB nên MP=MG(2).
- Ta thấy GD=NC(t/c đoạn chắn); NC=NM nên NM=GD(3).
-Và có góc PMN= góc MGD=90 độ.(4)
-Từ (2);(3);(4) => tam giác MGD= tam giác PMN(g.c.g) => góc MDG=góc MNP=> MD vuông góc PN.
Vậy đường thẳng qua M vuông góc PN luôn đi qua điểm D cố định.
=> đpcm.