Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

Cực trị hình học.

 Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh là $a,b,c$. Cho góc $\alpha ,\beta ,\gamma$ sao cho $\alpha +\beta +\gamma =90^{\circ}$. Tìm GTLN của biểu thức sau : $P=\frac{sin\alpha }{a}+\frac{sin\beta }{b}+\frac{sin\gamma }{c}$

 

P/s: Lâu lắm mới tái xuất giang hồ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 08-11-2014 - 21:11

[Hoang Tung 126]

Cực trị hình học.

 Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh là $a,b,c$. Cho góc $\alpha ,\beta ,\gamma$ sao cho $\alpha +\beta +\gamma =90^{\circ}$. Tìm GTNN của biểu thức sau : $P=\frac{sin\alpha }{a}+\frac{sin\beta }{b}+\frac{sin\gamma }{c}$

 

P/s: Lâu lắm mới tái xuất giang hồ

     Đề bài phải là tìm Max chứ 

 

 Không mất tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$.Do $\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}= > 0< sin\alpha ,sin\beta ,sin\gamma < 1$

 

Ta có $P=\frac{sin\alpha }{a}+\frac{sin\beta }{b}+\frac{sin\gamma }{c}\leq \frac{sin\alpha }{c}+\frac{sin\beta }{c}+\frac{sin\gamma }{c}=\frac{sin\alpha +sin\beta +sin\gamma }{c}$

 

   Mặt khác $sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}\leq 2sin\frac{\alpha +\beta }{2}$

              

                    $sin\gamma +sin\frac{\pi }{6}=2sin\frac{\gamma +\frac{\pi }{6}}{2}cos\frac{\gamma -\frac{\pi }{6}}{2}\leq 2sin\frac{\gamma +\frac{\pi }{6}}{2}$

 

Cộng theo vế $= > P\leq \frac{2sin\frac{\alpha +\beta }{2}+2sin\frac{\gamma +\frac{\pi }{6}}{2}-sin\frac{\pi }{6}}{c}=\frac{4sin\frac{\alpha +\beta +\gamma+\frac{\pi }{6} }{4}cos\frac{\alpha +\beta -\gamma -\frac{\pi }{6}}{4}-\frac{1}{2}}{c}\leq \frac{3}{2c}=const$

 

 Dấu = xảy ra khi $< = > \left\{\begin{matrix} a=b=c & \\ \alpha =\beta =\gamma =30 & \end{matrix}\right.$

 

    

[Trang Luong]

     Đề bài phải là tìm Max chứ 

 

 Không mất tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$.Do $\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}= > 0< sin\alpha ,sin\beta ,sin\gamma < 1$

 

Ta có $P=\frac{sin\alpha }{a}+\frac{sin\beta }{b}+\frac{sin\gamma }{c}\leq \frac{sin\alpha }{c}+\frac{sin\beta }{c}+\frac{sin\gamma }{c}=\frac{sin\alpha +sin\beta +sin\gamma }{c}$

 

   Mặt khác $sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}\leq 2sin\frac{\alpha +\beta }{2}$

              

                    $sin\gamma +sin\frac{\pi }{6}=2sin\frac{\gamma +\frac{\pi }{6}}{2}cos\frac{\gamma -\frac{\pi }{6}}{2}\leq 2sin\frac{\gamma +\frac{\pi }{6}}{2}$

 

Cộng theo vế $= > P\leq \frac{2sin\frac{\alpha +\beta }{2}+2sin\frac{\gamma +\frac{\pi }{6}}{2}-sin\frac{\pi }{6}}{c}=\frac{4sin\frac{\alpha +\beta +\gamma+\frac{\pi }{6} }{4}cos\frac{\alpha +\beta -\gamma -\frac{\pi }{6}}{4}-\frac{1}{2}}{c}\leq \frac{3}{2c}=const$

 

 Dấu = xảy ra khi $< = > \left\{\begin{matrix} a=b=c & \\ \alpha =\beta =\gamma =30 & \end{matrix}\right.$

 

    

.Tam giác $ABC$ bất kỳ anh nhá. Ko đều