1 reply to this topic

[vinh7aa]

a) $$\lim_{x\to 0}\left ( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right )^{\frac{1}{sin^2x}}$$

 

b) $$\lim_{x\to 0}\left ( \frac{cosx}{cos2x}\right )^\frac{1}{x^2}$$

 

 

Edited by vo van duc, 16-11-2014 - 03:15.

[CaolacVC]

Mình thấy bạn đăng khá nhiều bài, nhưng tất cả đều chung một dạng. Có thể do chưa làm lần nào nên bạn chưa biết, Mình sẽ làm một bài, các bài còn lại gần như tương tự, mình nghĩ bạn sẽ làm được.

Trước khi làm thì mình nói một xíu về dạng bài tập, đây là dạng bài tập sử dụng các giới hạn cơ bản.

Một số giới hạn cơ bản mà bắt buộc chúng ta phải ghi nhớ:

1. $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}}=1$

2. $\lim_{x\rightarrow 0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=e; \lim_{x\rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=e$

3. $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{e^x-1}{x}}=1$

4. $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ln(1+x)}{x}}=1$

 

Tổng quát hơn một tí

1. $\lim_{x\rightarrow 0}{[1+u(x)]^\frac{1}{u(x)}}=e$ trong đó $u(x)$ là hàm theo biến $x$ và khi $x\rightarrow 0$ thì $u(x)\rightarrow 0$

Tương tự cho 2, 3, 4

 

Một điều cũng khá quan trọng nữa:

$u(x)^{v(x)}=e^{ln[u(x)]^{v(x)}}=e^{v(x)ln[u(x)]}$

Nên $\lim_{x\rightarrow a}{[u(x)]^{v(x)}}=\lim_{x\rightarrow a}{e^{v(x)ln[u(x)]}}=e^{\lim_{x\rightarrow a}{v(x)}ln[u(x)]}$

 

Mẹo: Làm các bài như thế này chỉ cần biến đổi như thế nào cho gần giống với các công thức giới hạn cơ bản và áp dụng công thức là xong. Tuy nhiên trong quá trình biến đổi có thể rất lằng nhằng.

 

b) $\lim_{x\rightarrow 0}{(\frac{\cos{x}}{\cos{2x}})^{\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{(1+\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}-1)^{\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{(1+\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{\cos{2x}})^{\frac{\cos{2x}}{\cos{x}-\cos{2x}}.\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{\cos{2x}}.\frac{1}{x^2}}}$

 

Ta chỉ cần tính: $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{x^2\cos{2x}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{2\sin{\frac{x}{2}}\sin{\frac{3x}{2}}}{x^2\cos{2x}}}=\frac{3}{2}$

 

Nên giới hạn cần tính sẽ tiến đến $e^{\frac{3}{2}}$

 

(Đánh công thức quá phức tạp, tốn nhiều thời gian nên mình không thể trình bày từng bước. Chúc bạn học tốt)

Edited by CaolacVC, 17-11-2014 - 21:08.