Bài 1: Cho A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng $det(AA^t+E)>0$, trong đó $A^t$ là ma trận chuyển vị của ma trận $A$ và $E$ là ma trận đơn vị cùng cấp với A.
Trong sách có lời giải bằng dạng toàn phương nhưng em không hiểu lắm, em muốn hỏi là có thể giải bài này bằng phương pháp khác mà không cần dùng dạng toàn phương không ạ?
Bài 2: Phương trình nào có nghiệm là một ma trận vuông thực (không nhất thiết phải chỉ ra nghiệm)
a)$X^3=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 1 &0 &0 \\ 2 &3 &0 \end{bmatrix}$
b)$2X^5+X=\begin{bmatrix} 3 &5 &0 \\ 5 &1 &9 \\ 0 &9 &0 \end{bmatrix}$
c)$X^6+2X^4+10X=\begin{bmatrix} 0 &-1 \\ 1 &0 \end{bmatrix}$
d)$X^4=\begin{bmatrix} 3 &4 &0 \\ 0 &3 &3 \\ 0 &0 &-3 \end{bmatrix}$
Bài này em làm thế này không biết đúng không:
ở phần a) thì từ giả thiết ta có $X^9=0$ nên X lũy linh,mà X là ma trận cấp 3 nên $X^3=0$ trái với giả thiết, từ đó không tồn tại X thỏa mãn.
phần b) do vế phải là ma trận đối xứng nên chéo hóa được, với các phần tử trên đường chéo là a,b,c. ta nhân 2 ma trận $P$ và $P^{-1}$ vào 2 phía của vế phải và vế trái thì ta cần tìm ma trận $Y=PXP^{-1}$ sao cho $2Y^5+Y=diag(a,b,c)$. Ta chọn $Y=diag(u,v,w)$ thì cần phải có $2u^5+u=a,2v^5+v=b,2w^5+w=c$, các số thực $u,w,v$ sẽ tìm được do các pt này là pt bậc lẻ. Sau khi tìm được $Y$ ta có $X=P^{-1}XP$. ( bài này có phải luôn đúng nếu vế trái là đa thức bậc lẻ của X và vế phải là 1 ma trận đối xứng đúng không ạ)
phần c) em nghix mãi ko tìm ra cách giải, cái này ko lũy linh cũng ko chéo hóa được @@, cách anh hướng dẫn em phần này với ạ
phần d) thì vô nghiệm do định thức vế phải là $-3^3<0$ còn vế trái thì là $det(X)^4 \ge0$
Bài 3: cho $f: V \rightarrow V$ là toán tử tuyến tính. Chứng minh rằng tồn tại $k\in \mathbb{N}$ sao cho $V=Im f^{k} \oplus \ker f^k$
bài này đã suy nghĩ nhưng chỉ làm được nếu tồn tại k sao cho $f^k$ là ánh xạ không hoặc tồn tại $k$ sao cho $f^{k}=f^{2k}$
Bài 4:Cho
$A=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &0 &0\\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$
Với số nguyên $n$ nào thì sẽ tồn tại ma trận vuông phức $X$ cấp 4 sao cho $X^n=A$
Em thấy A lũy linh nên X lũy linh nên n phải nhỏ hơn 4, $n=1$ thì thỏa mãn, còn $n=2,3$ với $n=2$ em mò được 1 ma trận thỏa mãn là
$\begin{bmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &0 &1\\ 0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$
còn với n=3 thì em không tìm ra được ạ.
