Bài toán: Cho hay đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Ba đường thẳng $d_1, d_2, d_3$ phân biệt sao cho không có đường thẳng nào song song với $a$ (hoặc $b$). $d_2$ giao $a$ tại $B$ và giao $b$ tại $B'$. $d_3$ giao $a$ tại $C$ và giao $b$ tại $C'$.
Chọn 2 điểm phân biệt $A$ và $A'$ bất kỳ trên $d_1$ và không nằm trên $a$ hay $b$. Gọi $M, N$ lần lược là giao điểm của các cặp đường thẳng $(AB, A'B')$ và $(AC, A'C')$. Chứng minh rằng $MN$ song song với $a$ khi và chỉ khi $d_1, d_2, d_3$ đồng quy.
Hình thành trên cơ sở hình học xạ ảnh và định lý Desargues, nhưng nếu không dùng kiến thức bên hình học xạ ảnh thì làm như thế nào ạ.
Phần thuận: Giả sử $d_1,d_2,d_3$ đồng qui
Gọi $S$ là giao của ba đường thẳng nói trên
Áp dụng định lí $Menelaus$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} \frac{MB'}{MA'}.\frac{BS}{BB'}.\frac{AA'}{AS}=1\\ \frac{NC'}{NA'}.\frac{CS}{CC'}.\frac{AA'}{AS}=1 \end{matrix}\right.$
Theo $Thales$ suy ra $\frac{BS}{BB'}=\frac{CS}{CC'} \Rightarrow \frac{MB'}{MA'}=\frac{NC'}{NA'} \Rightarrow MN\parralel B'C'$
Phần đảo: Giả sử $MN\parralel BC$
Áp dụng $Thales$ suy ra
$\left\{\begin{matrix} \frac{AM}{AB}=\frac{AC}{AN}\\ \frac{A'M}{A'B'}=\frac{A'N}{A'C'} \end{matrix}\right.$
Gọi $S,R$ lần lượt là giao điểm $AA"$ với $BB',CC'$
Áp dụng định lý $Menelaus$ suy ra:
$\left\{\begin{matrix} \frac{AB}{AM}.\frac{A'M}{A'B'}.\frac{SB'}{SB}=1\\ \frac{AC}{AN}.\frac{A'N}{A'C'}.\frac{RC'}{RC}=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{SB'}{SB}=\frac{RC'}{RC}$
Gọi giao $AA'$ với $a,b$ lần lượt là $X,Y$ từ trên suy ra $\frac{SX}{SY}=\frac{RX}{RY}$ mà $S,R$ đều nằm ngoài đoạn $XY$
suy ra $S,R$ trùng nhau suy ra $BB',CC',AA'$ đồng qui
Dùng kiến thức xạ ảnh thì nhanh với đẹp hơn nhiều
