Chủ đề này có 3 trả lời

[vuminhhoang]

1. Cho a,b,c > 0 t/m a+b+c=6.

cmr $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leq 216$

 

2. Cho a,b,c > 0 t/m a+b+c=3.

Tìm gtnn $Q=\dfrac{a+1}{1+b^2}+\dfrac{b+1}{1+c^2}+\dfrac{c+1}{1+a^2}$

 

Các thánh giúp mình nha, mình ngu bđt lắm! tks!

[Phanbalong]

Mình lớp 9 nên mình giải theo cách lớp 9 nhé

Hình gửi kèm

• 

[dogsteven]

Bài 1:

Thiếu $a,b,c \geqslant 1$

Giả sử $a\leqslant b \leqslant c$, đặt $2t=b+c$

$$(b^2+2)(c^2+2)-[\dfrac{(b+c)^2}{4}+2]^2=\dfrac{-(b-c)^2}{16}(b^2+c^2+6bc-16) \leqslant 0$$

$$\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-216 \leqslant 2(t-2)^2(2t^4-4t^3+3t^2-20t-8) \leqslant 0$$

[dogsteven]

Bài 1: Nếu đề là $a, b, c\geqslant 0$ thì ta làm như sau:

$$f(a;b;c)=(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$$

Giả sử $a\geqslant b \geqslant c$, đến đây ta có $6=a+b+c\geqslant 3\sqrt{bc} \Rightarrow bc\leqslant 4$

$$f(a;b;c)-f(a;b+c;0)=bc(a^2+2)(bc-4) \leqslant 0$$

$$\Leftrightarrow f(a;b;c)\leqslant f(a;b+c;0)=f(s;t;0)=2(s^2+2)[(6-s)^2+2]=g(s)$$

Khảo sát hàm $g(s)$ trên miền $[2;6]$ cho ta kết quả $g(s)\leqslant g(3)=242$

$$\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\leqslant 242$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0, b=c=3$ và các hoán vị.