Chủ đề này có 1 trả lời

[vuminhhoang]

1.Cho x,y,z>0 : xyz=1.

Tìm GTLN của $A=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}$

 

2.Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn $a^{10}+b^{10}=c^{10}+d^{10}$

và $a^{11}+b^{11}=c^{11}+d^{11}$

 

CMR $a^{12}+b^{12}=c^{12}+d^{12}$.

 

Bài 2 này đề bài là số mũ to lắm nhưng mình nghĩ cách làm cũng vậy nên viết là mũ 10 cho dễ nha.

Mong mọi người giúp đỡ.

[binhnhaukhong]

Bài 1:

Không mất tính tổng quát giả sử x=max{x,y,z} ta có:

$0<yz\leq1$ ta đi chứng minh các bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+yz}}(1)$

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+yz}}\leq \frac{3\sqrt{2}}{2}(2)$

(1) thì đã quen thuộc vậy nên mình sẽ CM (2) chỉ bằng biến đổi tương đương ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\leq \frac{\sqrt{2}}{1+x}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{2}{\sqrt{1+yz}}\leq \frac{\sqrt{2}}{1+x}+\frac{2}{\sqrt{1+yz}}(3)$

$(3)\leq \frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \frac{3}{2}-\frac{1}{1+x}-\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1}}\geq 0\Leftrightarrow \frac{1+3x}{2(1+x)}-\sqrt{\frac{2x}{1+x}}\geq 0$

Quy đồng và ta đc 1 điều luôn đúng.Vậy $Max=\frac{3\sqrt{2}}{2}$