Chủ đề này có 2 trả lời

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Mình có một câu hỏi về nhóm thương và nhóm (quotient group và group). Có một câu nói thế này "The structure of the group G is reflected in the structure of the quotient groups and the subgroups of G."

Câu đó nên hiểu thế nào là đúng và đầy đủ nhất? Mình chỉ biết về cái định lý isomorphism. Ngoài định lý đó ra, có thể hiểu nôm na câu nói trên như thế nào?

 

Cảm ơn! 

[fghost]

Mình đoán thế này.

 

Đôi khi để tìm hiểu về 1 nhóm nào đó, điều tốt nhất mà bạn có thể có là 1 dãy khớp ngắn

$$0 \rightarrow K \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0$$

Khi đó, $H \cong G/K$ là 1 quotient group, và $K$ là 1 subgroup của $G$. Và nhiều tính chất của $G$ có thể được suy ra từ $K$ và $H$. Ví dụ như nếu $G, K, H$ là module trên vành giao hoán, thì length của $G$ sẽ là tổng của length của $K$ và $H$. Hay $G$ là Noetherian module khi và chỉ khi $K, H$ là Noetherian module. (module đại loại là nhóm giao hoán có thêm tính chất nhân trên 1 vành).

 

Hay nếu như bạn biết $H$ projective, hay free, thì $G \cong K \oplus H$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 24-11-2014 - 22:14

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Cảm ơn ghost, mà sorry bạn mình ko biết tý gì về mấy thứ bạn nói. Đại loại là mình đang học lớp abstract algebra lần đầu tiên. Minh ko thích abstract algebra lắm cho nên đến năm cuối mới bắt đầu lấy lớp. Để mình ngâm cứu tiếp