Chủ đề này có 8 trả lời

[Glue]

Câu 1: (6 điểm)
1. Cho A=$\left ( \frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{2\sqrt{x}-2}{x\sqrt{x}-\sqrt{x}+x-1}\right ):\left ( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2}{x-1} \right )$
a. Rút gọn A
b. Tính A khi $x=\sqrt[3]{2+10\sqrt{\frac{1}{27}}}+\sqrt[3]{2-10\sqrt{\frac{1}{27}}}$
2. Cho n là số nguyên dương và n lẻ. CMR:
$(46^n+296.13^n)\vdots 1947$
Câu 2: (4 điểm)
a, Giải phương trình:
$\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}$
b, Cho a,b,c là 3 số từng đôi một khác nhau và thỏa mãn:
$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
CMR: $\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$
Câu 3: (3 điểm)
a, Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$1+x+x^2+x^3=y^3$
b, cho a,b,c là các số dương và $a+b+c=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=a^3+b^3+c^3$
Câu 4: (6 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. M thuộc d. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB. Hạ OH vuông góc với d tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I. Tia OM cắt đường tròn (O;R) tại E.
a. cm OK.OH=OI.OM
b. cm E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
c. tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK max
Câu 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$(x+y)^4=40y+1$
 

[kanashini]

3b, AD AM-GM:

 

$a^3+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq 3.\frac{a}{9}=\frac{a}{3}$

 

$b^3+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq 3.\frac{b}{9}=\frac{b}{3}$

 

$c^3+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq 3.\frac{c}{9}=\frac{c}{3}$

 

Cộng theo vế,đc:

 

$A \geq \frac{a+b+c}{2}-6.\frac{1}{27}=\frac{1}{9}$

 

Dấu "=" xảy ra $a=b=c=\frac{1}{3}$

[kanashini]

3a,Do $x^2+x+1>0$ nên $x^3<y^3$

 

Suy ra $x<y$

 

+$y=x+1$.Thay vào PT,đc:

 

$2x^2+2x=0$

 

$x=0$ hoặc $x=-1$

 

+$y>x+1$

 

$\Rightarrow x^3+x^2+x+1>(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

 

$\Leftrightarrow 2x^2+2x<0$

 

$\Leftrightarrow -1<x<0$ (không có nghiệm nguyên tm)

 

KL:...

[kanashini]

2a,PT $\Leftrightarrow \sqrt{(x-2)(x-1)}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{(x-1)(x+3)}$

 

$\Leftrightarrow (x-2)(x-1)+x+3=x-2+(x-1)(x+3)$

 

$\Leftrightarrow x=2$

[chieckhantiennu]

b, Cho a,b,c là 3 số từng đôi một khác nhau và thỏa mãn:
$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
CMR: $\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$

 

Ta có :$\sum \frac{1}{b-c}\neq 0$

$\rightarrow (\sum \frac{a}{b-c})(\sum \frac{1}{b-c})=0$

$\rightarrow (\sum \frac{a}{(b-c)^2})+\frac{a+b}{(b-c)(c-a)}+\frac{a+c}{(a-b)(b-c)}+\frac{b+c}{(c-a)(a-b)}=0\rightarrow \sum \frac{a}{(b-c)^2}=0$

[Chung Anh]

2a/*ĐK $x\geq2$

Đặt $\sqrt{x-1}=a>0;\sqrt{x-2}=b>0;\sqrt{x+3}=c>0$

$ab+c=b+ac$

$\Leftrightarrow (a-1)(b-c)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=1 & & \\ b=c& & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x-1}=1 & & \\ \sqrt{x-2} =\sqrt{x+3}& & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow x=2(TMĐK)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 25-11-2014 - 20:57

[Chung Anh]

3b/Áp dụng Cauchy Schwarz

 

$A=(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)$

 

    $\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

 

    $\geq (\frac{(a+b+c)^2}{3})^2=\frac{1}{9}$

 

Dấu bằng$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 25-11-2014 - 21:09

[Glue]

Bài 1b:
$46^n+13^n.296=46^n+13^n+13^n.295$

$(46^n+13^n)\vdots (46+13)$ (vì n lẻ) $\Rightarrow (46^n+13^n)\vdots 59$ mà $295.13^n\vdots 59$
nên $46^n+13^n.296\vdots 59$
$46^n+13^n.296=46^n-13^n+297.13^n$
$(46^n-13^n)\vdots (46-13)=33$ mà $297.13^n\vdots 33$ 
nên $46^n+13^n.296\vdots 33$
59.33=1947 mà $\left ( 59;33 \right )=1$
$\Rightarrow 46^n+13^n.296\vdots 1947 (đpcm)$

 

[chardhdmovies]

Câu 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$(x+y)^4=40y+1$
 

ta có $2(x+y)^2\leq (x+y)^3=\frac{40y+1}{x+y}<40\Rightarrow x+y<4$

mà $40y+1$ lẻ nên $x+y$ lẻ do đó $x+y=3$

tới đây tìm được $y=2$

vậy $\boxed{x=1,y=2}$

 

NTP