Chủ đề này có 3 trả lời

[thuylinh_909]

 Cho $f(x)$ là hàm liên tục đều trên $[0;+\infty )$ thỏa mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }f(a+n)=0$   với mọi $a > 0$

CMR $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$

[Nxb]

 Cho $f(x)$ là hàm liên tục đều trên $[0;+\infty )$ thỏa mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }f(a+n)=0$   với mọi $a > 0$

CMR $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$

Mình làm hơi hình thức vì sợ sai. Bài này có lần mình post lên rồi hay sao ấy. Thấy quen quen.

Cho trước $\epsilon>0$. Do f liên tục đều nên tồn tại $\delta > 0$ sao cho với mọi x y ta có:

$$|x-y|< 2\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \frac{\epsilon}{2}$$

Đặt $x_{kn}=n+k\delta$. Ta phân tích đoạn $[n,n+1]$ như sau:

$$[n,n+1]=\bigcup_{k=0}^{[\frac{1}{\delta}]-1}[x_{kn},x_{k+1n}]\cup[x_{[\frac{1}{\delta}]n},x_{0n+1}]$$

Dễ thấy các đoạn con này có độ dài không quá $\delta$

Từ giả thiết ta có: $\lim f(x_{kn})=0$. Do đó với mỗi k, tồn tại $N_k$ sao cho với mọi $n \geq N_k$:

$$f(x_{kn}) \leq \frac{\epsilon}{2}$$

Chọn M=max{$N_k|0\leq k \leq [\frac{1}{\delta}]$}. Khi đó với mọi $x \geq M$ tồn tại $n\geq M$ sao cho $x\in [n,n+1]$. Theo trên tồn tại $k$ sao cho $x \in [x_{kn},x_{k+1n}]$ hoặc $[x_{kn},x_{0n+1}]$. Dẽ thấy rằng khi đó $|x-x_{kn}| \leq \delta<2\delta$ và $n \geq M \geq N_k$. Từ đó:

$$|f(x)|\leq |f(x)-f(x_{kn})|+|f(x_{kn})| < \epsilon$$.

Từ đây ta được $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$.

[thuylinh_909]

 Khi đó với mọi $x \geq M$ tồn tại $n\geq M$ sao cho $x\in [n,n+1]$.

Anh giải thích kĩ chỗ này giúp e với ạ !!!!

[thuylinh_909]

 À e hiểu rồi ạ. Chắc là do áp dụng nguyên lí Archimède  

Thank you a  nhé !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinh_909: 26-11-2014 - 09:29