Chủ đề này có 2 trả lời

[Minh Miku]

Cho phương trình: $x^{4}+ b x^{3}+ x^{2} +bx +1 =0$ 

Tìm b để phương trình có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt.

Mình xin cảm ơn!

 

[HungNT]

Nhận thấy x = 0 không phải một nghiệm của PT, ta chia 2 vế cho $x^{2}$

$<=>x^{2}+bx+1+b.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0 <=> ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} )+b (x+\frac{1}{x} )+1=0$

$<=>( x+\frac{1}{x} )^{2}-2x.\frac{1}{x}+b( x+\frac{1}{x} )+1=0 <=>( x+\frac{1}{x} )^{2}+b( x+\frac{1}{x} )-1=0$

Thay $t=x+\frac{1}{x},~PT<=>t^{2}+bt-1=0$

Có $\Delta \geq 0 \left ( \forall b \right )$ 

Do $\left\{\begin{matrix} x.\frac{1}{x}>0\\ x+\frac{1}{x}=t\\ x<0 \end{matrix}\right.=>t<0$

Và PT $x+\frac{1}{x}=t$ có 2 nghiệm phân biệt $=>\left\{\begin{matrix} t<0\\ t^{2}-4>0 \end{matrix}\right.=>t<-2$

Hay $t_{1}\leq t_{2}<-2=>\left\{\begin{matrix} \left ( t_{1}+2 \right )\left ( t_{2}+2 \right )>0\\ t_{1}+t_{2}+4<0 \end{matrix}\right.$

Đến đây dùng Viet vô tư rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 26-11-2014 - 20:56

[Minh Miku]

Nhận thấy x = 0 không phải một nghiệm của PT, ta chia 2 vế cho $x^{2}$

$<=>x^{2}+bx+1+b.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0 <=> ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} )+b (x+\frac{1}{x} )+1=0$

$<=>( x+\frac{1}{x} )^{2}-2x.\frac{1}{x}+b( x+\frac{1}{x} )+1=0 <=>( x+\frac{1}{x} )^{2}+b( x+\frac{1}{x} )-1=0$

Thay $t=x+\frac{1}{x},~PT<=>t^{2}+bt-1=0$

Có $\Delta \geq 0 \left ( \forall b \right )$ 

Do $\left\{\begin{matrix} x.\frac{1}{x}>0\\ x+\frac{1}{x}=t\\ x<0 \end{matrix}\right.=>t<0$

Và PT $x+\frac{1}{x}=t$ có 2 nghiệm phân biệt $=>\left\{\begin{matrix} t<0\\ t^{2}-4>0 \end{matrix}\right.=>t<-2$

Hay $t_{1}\leq t_{2}<-2=>\left\{\begin{matrix} \left ( t_{1}+2 \right )\left ( t_{2}+2 \right )>0\\ t_{1}+t_{2}+4<0 \end{matrix}\right.$

Đến đây dùng Viet vô tư rồi.

Cảm ơn bạn nhiều lắm =)))