Chủ đề này có 3 trả lời

[quangbinng]

Cho ma trận vuông A cấp $n$ với $n \in \mathbb{N}^*$ Chứng minh rằng có thể tách A thành 2 ma trận cấp n có n giá trị riêng khác nhau????

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Chọn các số $b_1,b_2,...,b_n;c_1,c_2,...,c_n$ như sau.

$$b_1\in \mathbb{R}, c_1=a_{11}-b_1$$

$$b_2 \in \mathbb{R}:b_2 \neq b_1, b_2 \neq a_{22}-c_1; c_2=a_{22}-b_2$$

$$b_3 \in \mathbb{R}: b_3 \neq b_1, b_3 \neq b_2, b_3 \neq a_{33}-c_1, b_3 \neq a_{33}; c_3=a_{33}-b_3$$

................

Khi đó ta được các $b_k$ đôi một phân biệt, $c_k$ đôi một phân biệt, $a_{kk}=b_k+c_k$.

$$B=\begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & b_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n \end{pmatrix}$$

$$C=\begin{pmatrix} c_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & c_2 & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_n \end{pmatrix}$$

Ta thấy $B$ và $C$ thoả mãn yêu cầu.

[quangbinng]

Chọn các số $b_1,b_2,...,b_n;c_1,c_2,...,c_n$ như sau.

$$b_1\in \mathbb{R}, c_1=a_{11}-b_1$$

$$b_2 \in \mathbb{R}:b_2 \neq b_1, b_2 \neq a_{22}-c_1; c_2=a_{22}-b_2$$

$$b_3 \in \mathbb{R}: b_3 \neq b_1, b_3 \neq b_2, b_3 \neq a_{33}-c_1, b_3 \neq a_{33}; c_3=a_{33}-b_3$$

................

Khi đó ta được các $b_k$ đôi một phân biệt, $c_k$ đôi một phân biệt, $a_{kk}=b_k+c_k$.

$$B=\begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & b_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n \end{pmatrix}$$

$$C=\begin{pmatrix} c_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & c_2 & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_n \end{pmatrix}$$

Ta thấy $B$ và $C$ thoả mãn yêu cầu.

 $b_2 \not= a_{22}-c_1$ thì có tác dụng gì ạ,  hình như không có điều kiện $c_1 \not =c_2$

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

$c_1 \neq c_2 \Leftrightarrow c_1 \neq a_{22}-b_2$