1 reply to this topic

[I love Tomato]

Cho tam giác ABC không cân có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm, K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Qua H vẽ đường thẳng d // BC. Lấy K thuộc d sao cho góc KMA = 90^o . Chứng minh rằng BC > 2.KM

Edited by hachinh2013, 01-12-2014 - 03:32.

[vkhoa]

(hình vẽ bên dưới)

ta có $\widehat{KBH} =\widehat{KAC}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

$\widehat{BKH} =\widehat{AKC}$

=>$\triangle BKH \sim\triangle AKC$ (g, g)

=>$\frac{BK}{AK} =\frac{KH}{KC}$

<=>BK .CK =AK .HK (1)

AMK vuông tại M có MH là đường cao

=>$MK^2 =AK .HK$ (2)

từ (1, 2) =>$MK^2 =KB .KC$ (3)

áp dụng Cosi cho $\sqrt{KB}, \sqrt{KC}$ ta có

$KB .KC <=(\frac{KB +KC}{2})^2 =\frac{BC^2}{4}$

mà tg ABC không cân =>KB khác KC

=>$KB .KC <\frac{BC^2}{4}$ (4)

từ (3, 4) =>$MK^2 <\frac{BC^2}{4}$

<=>$MK <\frac{CB}{2}$ (đpcm)