Chủ đề này có 2 trả lời

[binhnhaukhong]

Cho $a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3$.Tìm Max

$P=a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 07-12-2014 - 17:26

[khanghaxuan]

Bài này hình như chưa có lời giải  . 

[chardhdmovies]

 

Cho $a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3$.Tìm Max

$P=a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3$

 

gọi $(x,y,z)$ là hoán vị của $(a,b,c)$ sao cho $x\geq y\geq z$

$P=a(a^2c^2)+c(c^2b^2)+b(b^2a^2)\leq x(x^2y^2)+y(x^2z^2)+z(y^2z^2)$

  $=y(x^3y+x^2z^2+z^3y)=y\left [ x^2\left ( xy+\frac{1}{2}z^2 \right )+z^2\left ( yz+\frac{1}{2}x^2 \right ) \right ]$

  $\leq y\left ( x^2\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+z^2\frac{x^2+y^2+z^2}{2} \right )=\frac{3}{2}y(x^2+z^2)$

  $=\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{2y^2(x^2+z^2)(x^2+z^2)}\leq \frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{\left ( \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3} \right )^3}=3$

vậy $\boxed{P_{max}=3\Leftrightarrow a=b=c=1}$

 

NTP 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 07-12-2014 - 20:22