Chủ đề này có 4 trả lời

[dangquoctienvktl]

Cho các số thực dương a,b,c thoả $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$. Chứng minh Chứng minh $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3$

[Viet Hoang 99]

Cho các số thực dương a,b,c thoả $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$. Chứng minh Chứng minh $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3$

Ý tưởng:

Có:

$4(a^3-a^2)-(a^4-1)=(a-1)^2(1+2a-a^2)\ge 0$

Tương tự suy ra $\sum a^3\ge \sum a^2$

Vậy cần cm $\sum \frac{a^2}{b}\ge \frac{3\sum a^3}{\sum a^2}$

Dùng tiêu chuẩn SOS để giải

[vipboycodon]

BĐT $\leftrightarrow \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \ge 3\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

Sử dụng bđt Holder ta có:

$(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a})(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a})(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) \ge (a^2+b^2+c^2)^3$

Đặt $x = a^2$ , $y = b^2$ , $c = z^2$ ta sẽ chứng minh:

$(x+y+z)^3 \ge 3(xy+yz+xz)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

$\leftrightarrow \dfrac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz} \ge \dfrac{3\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{x+y+z}$

$\leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2}{2(xy+yz+xz)} \ge \dfrac{3[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]}{(x+y+z)(x+y+z+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)})}$

$\leftrightarrow 6(xy+yz+xz) \le (x+y+z)(x+y+z+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)})$

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z \leftrightarrow a = b = c$.

Nguồn : trong sách

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 08-12-2014 - 20:31

[dangquoctienvktl]

Cho hỏi sách gì vậy?

[chardhdmovies]

Cho hỏi sách gì vậy?

cuốn kim cương

 

NTP