Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh $S_{\Delta ABC}=BD.DC$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 09-12-2014 - 06:08
Chứng minh $S_{\Delta ABC}=BD.DC$
Bắt đầu bởi duypro154, 08-12-2014 - 19:52
#2
Đã gửi 08-12-2014 - 22:00
Phung Quang Minh
-
- Thành viên
-
- 359 Bài viết
Sĩ quan
-Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
-Ta có: OD vuông góc với BC(D thuộc BC).
-Kẻ OH vuông góc với AB; OK vuông góc với AC(H thuộc AB;K thuộc AC).
-Dễ thấy:(AH+BH)^2+ (AK+KC)^2= (BD+DC)^2.
=> AH^2+2.AH.BH+2.AK.KC+AK^2+BH^2+CK^2=BD^2+DC^2+2.BD.DC.
-Mà BH=BD; CD=CK; AH=AK=> AH^2+AH.BH+AK.KC=BD.DC.
=> S(AHOK)+BH.HO+CK.KO=BD.DC(Do HO=AH=OK=OD=AK). -- -Mà BH.HO=2.S(BHO)=S(BHO)+S(BDO); CK.KO=S(CDO)+S(CKO).
=> S(AHOK)+S(BHOD)+S(CDOK)=BD.DC.
=> S(ABC)= BD.DC(đpcm).
-Ta có: OD vuông góc với BC(D thuộc BC).
-Kẻ OH vuông góc với AB; OK vuông góc với AC(H thuộc AB;K thuộc AC).
-Dễ thấy:(AH+BH)^2+ (AK+KC)^2= (BD+DC)^2.
=> AH^2+2.AH.BH+2.AK.KC+AK^2+BH^2+CK^2=BD^2+DC^2+2.BD.DC.
-Mà BH=BD; CD=CK; AH=AK=> AH^2+AH.BH+AK.KC=BD.DC.
=> S(AHOK)+BH.HO+CK.KO=BD.DC(Do HO=AH=OK=OD=AK). -- -Mà BH.HO=2.S(BHO)=S(BHO)+S(BDO); CK.KO=S(CDO)+S(CKO).
=> S(AHOK)+S(BHOD)+S(CDOK)=BD.DC.
=> S(ABC)= BD.DC(đpcm).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
