Jump to content

Photo

$\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{c}{1+c^{2}}\leq \frac{9}{10}$


  • Please log in to reply
5 replies to this topic

#1
Algebra

Algebra

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 posts

Cho $a,b,c\geq \frac{-3}{4}: a+b+c=1$.Chứng minh $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{c}{1+c^{2}}\leq \frac{9}{10}$



#2
Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 posts

Cho $a,b,c\geq \frac{-3}{4}: a+b+c=1$.Chứng minh $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{c}{1+c^{2}}\leq \frac{9}{10}$

$a,b,c>0;a+b+c=1$

xem lời giải của Viet Hoang 99 tại đây


Edited by Phuong Mark, 21-12-2014 - 01:17.

Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#3
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 posts

Cho $a,b,c\geq \frac{-3}{4}: a+b+c=1$.Chứng minh $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{c}{1+c^{2}}\leq \frac{9}{10}$

Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau

$\frac{a}{1+a^2}\leq \frac{36a+3}{50}$ $(*)$

BĐT $(*)$ $\Leftrightarrow 36\begin{pmatrix} a-\frac{1}{3} \end{pmatrix}^2\begin{pmatrix} a+\frac{3}{4} \end{pmatrix}\geq 0$ (luôn đúng)

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, sử dụng giả thiết $a+b+c=1$ là có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#4
ThaoLinhND

ThaoLinhND

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 posts

Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau

$\frac{a}{1+a^2}\leq \frac{36a+3}{50}$ $(*)$

 

Em học BĐT kém nên anh có thể giải thích giúp em cách để tìm ra BĐT phụ này không ạ?



#5
lethanhson2703

lethanhson2703

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 297 posts

Bạn có thể xem cách tìm BĐT phụ ở đây 

https://www.youtube....h?v=GSt1aqiw118



#6
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 posts

Bài này mở rộng sang được tập $R$ 


NgọaLong




1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users