3 replies to this topic

[chieckhantiennu]

1. trong tất cả các tứ giác có độ dài ba cạnh bằng nhau và bằng a.Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.

2. Trong tất cả các tứ giác ABCD có tổng độ dài 3 cạnh $AB+BC+CD=a$.

Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất, tính nó theo a.

3.Cho hình bình hành, M cố định thuộc BC. N di chuyển trên AD, $AM \cap BN =P, MD \cap NC=Q$.

Tìm vị trí của N để $S_{MPNQ} max$

[chieckhantiennu]

1. trong tất cả các tứ giác có độ dài ba cạnh bằng nhau và bằng a.Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.

 

Mình đã giải được.

Cách 1:đẶT $BD=x$. kẺ $AH\perp BD, CK\perp BD$ 

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-\frac{x^2}{4}}+\frac{1}{2}x.CK$

$\rightarrow 4S=x\sqrt{4a^2-x^2}+2x.CK$ $\leq x\sqrt{4a^2-x^2}+2ax=\sqrt{3}.\frac{x}{\sqrt{3}}.\sqrt{4a^2-x^2}+\sqrt{3}.\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.a\sqrt{2}$ $\rightarrow \frac{4S}{\sqrt{3}}\leq 3a^2(AM-GM)$

$\rightarrow S\leq \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$

Dấu = xảy ra khi tứ giác ABCD là hình thang cân có góc ở đáy = $60^o$

Cách 2: (phản chứng) (mình không vẽ hình)

Giả sử $AB=BC=AD=a, S_{max}$ nhưng BC không vuông góc BD

Vẽ C' sao cho BC' vuông BD và $BC'=a$.

$S_{BC'D}>S_{BCD}\rightarrow S_{ABCD}<S_{AB'CD}$ (VÔ LÝ) nên BC vuông BD.

tương tự dc AD vuông AC. 

nên ABCD là tứ giác nt mà $AD=BC=AB \rightarrow \widehat{ADC}=60^o=\widehat{BCD}$

..

Attached Images

• 

[chieckhantiennu]

2. Trong tất cả các tứ giác ABCD có tổng độ dài 3 cạnh $AB+BC+CD=a$.

Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất, tính nó theo a.

 

Phản chứng tiếp:

Giả sử ABCD có $S_{max}, AB+BC+CD=a$ nhưng $AB \neq BC$.

Dựng tam giác AB'C có $AB'=B'C=\frac{AB+BC}{2} \rightarrow C_{AB'C}=C_{ABC}$

Sử dụng công thức Hê-rông 

$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AC)(p-AB)(p-BC)}=\sqrt{p(P-AC)}.\sqrt{(p-AB)(p-BC)}\leq \sqrt{p(P-AC)}.\frac{2p-AB-BC}{2}$  (1)

dấu bằng khi $AB=BC$

ttự: $S_{AB'C}=\sqrt{p(p-AC)}.(p-AB')$

$\rightarrow S_{ABCD}<S_{AB'CD}$ (vô lý). $\rightarrow AB=BC$

cm tương tự được $BC=CD$

$\Rightarrow AB=BC=CD$.

trở về bài toán 1.

[chieckhantiennu]

 

3.Cho hình bình hành, M cố định thuộc BC. N di chuyển trên AD, $AM \cap BN =P, MD \cap NC=Q$.

Tìm vị trí của N để $S_{MPNQ} max$

Giải

Đặt như hình vẽ.

dễ chứng minh dc $S_1=S_2$, $S_5=S_6, \frac{S_1}{S_3}=\frac{S_4}{S_2} \rightarrow S_1S_2=S_3S_4$; $\frac{S_6}{S_7}=\frac{S_8}{S_5} \rightarrow S_5S_6=S_7S_8$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}S_1^2=S_2^2=S_3.S_4 & \\  S_5^2=S_6^2=S_7.S_8& \end{matrix}\right.$

tA CÓ:

$(S_4+S_3)^2\geq 4S_3S_4=4S_2^2\rightarrow S_3+S_4\geq 2S_2$

ttự:$S_7+S_8\geq 2S_6$

 

CỘNG vễ vế $\Rightarrow S_3+S_4+S_7+S_8 \geq 2S_{MPNQ} \rightarrow 4S_{MNPQ}\leq S_{ABCD}$

DẤU BẰNG khi tứ giác ABMN là hbh.

Attached Images

•