vẫn tìm ra cttq như cậu rồi làm tiếp , xét phương trình x^3-x^2+x=0 có 3 nghiệm trong đó có 2 nghiệm phức đặt là z1 và z2
1 nghiệm thực là x=0
do vậy muốn f_n(x)chia hết cho x^3-x^2+x
nên f_n(0)=0 do vậy n lẻ
tương tự f_n(z1)=f_n(z2)=0
thay số vụ thể vào rồi quy nạp 3/n
ngoài ra còn 1 cách khác mình đọc đc trên mạng là dùng công thức moivre là nhanh nhất
VMO 2015
#21
Posted 10-01-2015 - 18:03
- khanghaxuan likes this
#22
Posted 10-01-2015 - 22:14
bạn khanghaxuan làm sai rồi, đáp số là n lẻ và là bội của 3
Nothing is impossible
#23
Posted 10-01-2015 - 22:16
Bài 1 : $\left\{\begin{matrix} f_{0}(x)=2 , f_{1}(x)=3x & \\ f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^{2})f_{n-2}(x) & \end{matrix}\right.$
Áp dụng phương pháp sai phân bậc 2 ta tìm được công thức tổng quát :
$f_{n}(x)=(2x-1)^{n}+(x+1)^{n}$
Khai triển rồi nhóm lại ta được :
$f_{n}(x)=x^{n}.(2^{n}+1)+...+(-1)^{n}+1^{n}$ (*)
Để (*) chia hết cho $x^{3}-x^{2}+x$ thì $n$ là một số lẻ và được viết dưới dạng sau :
$x(x^{2}-x+1)(x^{n-3}.C_{1}+....+x.C_{n-3}+C_{n-2})$
Xét đa thức $g(x)=x^{n-1}(2^{n}+1 )+...+C^{n-1}_{n}$
$h(x)=x^{3}.C_{1}+...+C_{n-2}$
Ta có : Tổng các hệ số của đa thức $g(x)$ bằng tổng hệ số của đa thức $h(x)$ ( $h(x)$ là đa thức thương của $g(x)$ với $x^{2}-x+1$
Ta xác định được : $C_{1}=2^{n}+1$
$C_{n-2}=C^{n-1}_{n}$
Tới đây bước tính toán của em hơi khủng !!!!!
$C_{3}=C^{2}_{n}(2^{n-2}-1)+C^{1}_{n}(2^{n-1}+1)$
$C_{4}=C^{3}_{n}(2^{n-3}-1)+C^{2}_{n}(2^{n-2}+1)-2^{n}-1$
Cứ tiếp tục như thế ( Khúc sau khủng quá nên lười ghi )
Cuối cùng cân bằng hệ số giữa $C_{n-2}$ trong khai triển trên với $C_{n-2}$ trong đa thức $g(x)$
Ta tìm được : $n=3$ thỏa đề bài .
P/s : Cái khúc tính toán để em xem lại nhé ! ( Dấu $+$ , $-$ loạn xạ )
sai rồi bạn ơi!!! n là số lẻ chia hết cho 3, bài này dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Edited by taideptrai, 10-01-2015 - 22:17.
Nothing is impossible
#24
Posted 11-01-2015 - 06:47
Bài 1 :
a. Với $a=0$ thì dãy viết lại như sau : $\left\{\begin{matrix} u_{1}=3 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3} & \end{matrix}\right.$
Th1: $$u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$$ (**)
Xét $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{u_{n}}{2}$ (*)
Giả sử $u_{n}$ là hàm tăng thì (*) $\Leftrightarrow \sqrt{u^{2}_{n}+3} > 2u_{n}\Leftrightarrow u_{n}<1$ ( vô lý )
nên $u_{n}$ là hàm giảm mà kết hợp với (**) nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn .
Gọi $lim u_{n}=L$ , chuyển qua giới hạn ta có : $L=1$ nên $lim u_{n}=1$
Hiển nhiên ta có $u_{n}>0$
Th2 : $0< u_{n}\leq 1$ (***) , tương tự như trên ta cũng chứng minh được $u_{n}$ là hàm số tăng mà kết hợp với (***)
ta được $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên $lim u_{n}=1$
b. Th1 : $u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$ , chứng minh tương tự câu a nên dãy có giới hạn hữu hạn
Th2 : $0 < u_{n}\leq 1 $ ta cũng sẽ chứng minh $u_{n}$ là hàm tăng như sau :
Xét : $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+a}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{1}{2}u_{n}$
Sau đó sử dụng đánh giá : $a <1$ rồi đưa về biểu thức sau : $u^{2}_{n}=\frac{12n^{4}}{12n^{4}+8n^{2}+1}<1 \rightarrow u_{n}<1$ (đúng )
nên $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn
Câu a của cậu cũng sai luôn rồi!!! Có đến mấy chỗ cậu ngộ nhận luôn. Làm gì có chuyện hàm không tăng thì là hàm giảm??? Nếu như xét TH như vậy thì đang còn thiếu TH, lỡ dãy nãy đánh võng quanh số 1 thì cậu làm sao???
- Fr13nd likes this
Nothing is impossible
#25
Posted 11-01-2015 - 20:39
Câu 4b
Goi (ABC) là (O) tâm O
Gọi giao điểm của TM,TN với (O) là L,G
Ta sẽ chứng minh phân giác MTN đi qua điểm chính giữa cung BC không chứa A. Tương đương với chứng minh LG // BC hay $\widehat{BTM}=\widehat{NTC}$ (5)
Dễ thấy PQ là trục đẳng phương của (I),(HBC),(K) . (*)
Gọi J là giao điểm của EF với BC .
Ta có EFBC nội tiếp nên JE.JF=JB.JC do đó J nằm trên trục đẳng phương của (HBC) hay (O) và (I)
Do đó J,P,Q thẳng hàng .
Ta có : T nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K) nên O,K,T thẳng hàng . (1)
Từ (*) suy ra : JE.JF = JP.JQ = JM.JN = JB.JC
Do đó J nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K) . (2)
Từ (1) và (2) suy ra JT tiếp xúc (O) , (K).
Dễ thấy : $\widehat{JTC}=\widehat{TBC}$ (3)
$ JT^2=JB.JC=P_{J/(O)} $
Do đó : $\widehat{JTN}=\widehat{JMT}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra ĐPCM (Theo (5))
Edited by duythanbg, 13-01-2015 - 22:36.
- Pham Le Yen Nhi, khanghaxuan and nhungvienkimcuong like this
#26
Posted 12-01-2015 - 14:55
- Hoang Long Le likes this
#27
Posted 13-01-2015 - 04:01
5 cách giải câu Bất đẳng thức
Attached Files
- NguyThang khtn, caybutbixanh, tunglamlqddb and 1 other like this
Diễn đàn Vật lí phổ thông: https://vatliphothong.vn
My Blog: http://tanghaituan.com
Học trực tuyến: https://hoctructuyen.tv
#28
Posted 13-01-2015 - 14:35
#29
Posted 13-01-2015 - 14:43
#30
Posted 13-01-2015 - 14:52
Bài này dùng đồng dư giải cũng được bạn ah.
#31
Posted 18-01-2015 - 13:15
NGÀY 2Bài 5: (7,0 điểm) Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi:$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$ với mọi $n\ge 2$.Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x$.
Áp dụng phương trình sai phân bậc hai, ta tìm được công thức tổng quát: $f_{n}(x)=(2x-1)^{n}+(x+1)^{n}$ (*)
Thay $x=5$ vào (*) ta được $f_{n}(5)=9^{n}+6^{n}$
Ta sẽ tìm $n$ để $f_{n}(5)=9^{n}+6^{n}$ chia hết cho $5^{3}-5^{2}+5=105$
Ta có $9^{n}+6^{n}=3^{n}\left ( 3^{n}+2^{n} \right )$ và $105=3.5.7$
Suy ra ta chỉ cần tìm $n$ sao cho $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $7$
Đặt $n=6k+r$ ($r\in \left \{ 0,1,2,3,4,5 \right \}$)
Từ đó ta có $3^{n}+2^{n}=3^{6k+r}+2^{6k+r}=729^{k}.3^{r}+64^{k}.3^{r}$
Suy ra $3^{n}+2^{n}\equiv 3^{r}+2^{r}(mod7)$
Lần lượt thay $r= 0,1,2,3,4,5$ ta thấy chỉ có $r=3$ thõa mãn $3^{n}+2^{n}\equiv 0(mod7)$
Tiếp theo ta sẽ chứng minh $n=6k+3$ thõa mãn (bằng quy nạp theo $k$)
Thật vậy,
Với $k=0$ ($n=3$) ta có $f_{n}=f_{3}=9x^{3}-9x^{2}+9x$ chia hết cho $x^{3}-x^{2}+x$
Giả sử $k=a$ thõa mãn, ta sẽ chứng minh $k=a+1$ cũng thõa mãn
Ta có
$(2x-1)^{6a+9}+(x+1)^{6a+9}=\left [ (2x-1)^{6a+3}+(x+1)^{6a+3} \right ]\left [ (2x-1)^{6}+(x+1)^{6} \right ]-(2x-1)^{6}(x+1)^{6}\left [ (2x-1)^{6a-3}+(x+1)^{6a-3} \right ]$
chia hết cho $x^{3}-x^{2}+x$
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có $n=6k+3$, với mọi $k$ nguyên không âm, thõa mãn đề bài
Edited by shinichigl, 18-01-2015 - 13:23.
- nhungvienkimcuong and duylax2412 like this
#32
Posted 18-01-2015 - 22:21
#33
Posted 18-01-2015 - 22:24
Lời gải bài 3 trước có nhầm lẫn mình đã gửi lời giải bài 3 và bài 7
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users