4 replies to this topic

[backtodecember12356]

Tìm min,max: $F=13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}$

[Ngoc Hung]

$F^{2}=x^{2}\left ( \sqrt{13}\sqrt{13-13x^{2}}+3\sqrt{3} \sqrt{3+3x^{2}}\right )^{2}\leq 4.10x^{2}\left ( 16-10x^{2} \right )\leq 256\Rightarrow -16\leq F\leq 16$

Edited by hachinh2013, 10-01-2015 - 22:36.

[nguyenhongsonk612]

Tìm min,max: $F=13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}$

ĐKXĐ: $-1 \leq x \leq 1$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$F=26\sqrt{\frac{1}{4}x^2(1-x^2)}+6\sqrt{\frac{9}{4}x^2(1+x^2)}\leq 26.\frac{\frac{1}{4}x^2+1-x^2}{2}+6.\frac{\frac{9}{4}x^2+1+x^2}{2}=16$

Dễ thấy $F \geq 0$

Vậy Min $F=0$. Dấu "=" xảy ra khi $x=0$

       Max $F=16$. Dấu "=" xảy ra khi $x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

[backtodecember12356]

ĐKXĐ: $-1 \leq x \leq 1$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$F=26\sqrt{\frac{1}{4}x^2(1-x^2)}+6\sqrt{\frac{9}{4}x^2(1+x^2)}\leq 26.\frac{\frac{1}{4}x^2+1-x^2}{2}+6.\frac{\frac{9}{4}x^2+1+x^2}{2}=16$

Dễ thấy $F \geq 0$

Vậy Min $F=0$. Dấu "=" xảy ra khi $x=0$

       Max $F=16$. Dấu "=" xảy ra khi $x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

 Làm sao nhẩm được dấu bằng bạn ???

[nguyenhongsonk612]

 Làm sao nhẩm được dấu bằng bạn ???

Ý tưởng bài này như sau:

Ta đưa thêm các tham số $m,n$ vào trong các căn

$13\sqrt{x^2-x^4}=\frac{13}{m}\sqrt{m^2x^2(1-x^2)}\leq \frac{13}{m}\frac{m^2x^2+1-x^2}{2}=\frac{13(m^2-1)x^2+13}{2m}$

$9\sqrt{x^2+x^4}=\frac{9}{n}.\sqrt{n^2x^2(1+x^2)}\leq \frac{9(n^2+1)x^2+9}{2n}$

$\Rightarrow F\leq \begin{bmatrix} \frac{13(m^2-1)x}{2m}+\frac{9(n^2+1)}{2n} \end{bmatrix}x^2+\frac{13}{2m}+\frac{9}{2n}$

Dấu "=" xảy ra khi $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2x^2=1-x^2 & & \\ n^2x^2=1+x^2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (m^2+1)x^2=(n^2-1)x^2=1\Leftrightarrow m^2+1=n^2-1$

Chọn $m,n>0$ sao cho $\left\{\begin{matrix} m^2+1=n^2-1 & & \\ \frac{13(m^2-1)}{2m}+\frac{9(n^2+1)}{2n}=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\frac{1}{2};n=\frac{3}{2}$