Tìm min,max: $F=13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}$
Tìm min,max: $F=13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}$
Bắt đầu bởi backtodecember12356, 10-01-2015 - 21:48
#1
Đã gửi 10-01-2015 - 21:48
backtodecember12356
-
- Thành viên
-
- 24 Bài viết
Binh nhất
#2
Đã gửi 10-01-2015 - 22:23
Ngoc Hung
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1547 Bài viết
Đại úy
$F^{2}=x^{2}\left ( \sqrt{13}\sqrt{13-13x^{2}}+3\sqrt{3} \sqrt{3+3x^{2}}\right )^{2}\leq 4.10x^{2}\left ( 16-10x^{2} \right )\leq 256\Rightarrow -16\leq F\leq 16$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 10-01-2015 - 22:36
#3
Đã gửi 10-01-2015 - 22:41
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Tìm min,max: $F=13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}$
ĐKXĐ: $-1 \leq x \leq 1$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$F=26\sqrt{\frac{1}{4}x^2(1-x^2)}+6\sqrt{\frac{9}{4}x^2(1+x^2)}\leq 26.\frac{\frac{1}{4}x^2+1-x^2}{2}+6.\frac{\frac{9}{4}x^2+1+x^2}{2}=16$
Dễ thấy $F \geq 0$
Vậy Min $F=0$. Dấu "=" xảy ra khi $x=0$
Max $F=16$. Dấu "=" xảy ra khi $x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#4
Đã gửi 10-01-2015 - 23:38
backtodecember12356
-
- Thành viên
-
- 24 Bài viết
Binh nhất
ĐKXĐ: $-1 \leq x \leq 1$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$F=26\sqrt{\frac{1}{4}x^2(1-x^2)}+6\sqrt{\frac{9}{4}x^2(1+x^2)}\leq 26.\frac{\frac{1}{4}x^2+1-x^2}{2}+6.\frac{\frac{9}{4}x^2+1+x^2}{2}=16$
Dễ thấy $F \geq 0$
Vậy Min $F=0$. Dấu "=" xảy ra khi $x=0$
Max $F=16$. Dấu "=" xảy ra khi $x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$
Làm sao nhẩm được dấu bằng bạn ???
- nguyenhongsonk612 yêu thích
#5
Đã gửi 11-01-2015 - 13:45
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Làm sao nhẩm được dấu bằng bạn ???
Ý tưởng bài này như sau:
Ta đưa thêm các tham số $m,n$ vào trong các căn
$13\sqrt{x^2-x^4}=\frac{13}{m}\sqrt{m^2x^2(1-x^2)}\leq \frac{13}{m}\frac{m^2x^2+1-x^2}{2}=\frac{13(m^2-1)x^2+13}{2m}$
$9\sqrt{x^2+x^4}=\frac{9}{n}.\sqrt{n^2x^2(1+x^2)}\leq \frac{9(n^2+1)x^2+9}{2n}$
$\Rightarrow F\leq \begin{bmatrix} \frac{13(m^2-1)x}{2m}+\frac{9(n^2+1)}{2n} \end{bmatrix}x^2+\frac{13}{2m}+\frac{9}{2n}$
Dấu "=" xảy ra khi $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2x^2=1-x^2 & & \\ n^2x^2=1+x^2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (m^2+1)x^2=(n^2-1)x^2=1\Leftrightarrow m^2+1=n^2-1$
Chọn $m,n>0$ sao cho $\left\{\begin{matrix} m^2+1=n^2-1 & & \\ \frac{13(m^2-1)}{2m}+\frac{9(n^2+1)}{2n}=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\frac{1}{2};n=\frac{3}{2}$
- haidoan3899 yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
