Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca}\leq \frac{3}{2}$$
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca}\leq \frac{3}{2}$$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca}\leq \frac{3}{2}$$
$\sum \frac{1}{3-ab}\leq \sum \frac{2}{3+c^{2}}$
Tới đây dùng pp UCT là xong !
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -$\sum \frac{1}{3-ab}\leq \sum \frac{2}{3+c^{2}}$
Tới đây dùng pp UCT là xong !
s hk hiu . zai zup bai nay dum!
cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn điều kiện: $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$ . Tim GTLN của biểu thức:
p=$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NMCT: 26-02-2015 - 16:51
Ai muốn thì vô
Ai vô thì đánh
Ai đánh mặc kệ
Mặc kệ người đánh
Người đánh măc ai
Mặc ai bị đánh
Bị đánh cũng tội
có tội cũng đánh
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca}\leq \frac{3}{2}$$
BDT $< = > \sum (\frac{1}{3-ab}-\frac{1}{3})\leq \frac{1}{2}< = > \sum \frac{ab}{3-ab}\leq \frac{3}{2}< = > \sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\leq \frac{3}{2}$
Mà $a^2+b^2+c^2-ab\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}= > \sum \frac{ab}{a^2+b^2-ab+c^2}\leq \sum \frac{ab}{\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}}=2\sum \frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}=2\sum \frac{ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq 2\sum \frac{(a+b)^2}{4{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}}=\frac{1}{2}\sum \frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})=\frac{1}{2}(\sum \frac{a^2}{a^2+c^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2})=\frac{3}{2}$
s hk hiu . zai zup bai nay dum!
cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn điều kiện: $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$ . Tim GTLN của biểu thức:
p=$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$
Ta có $\sum \frac{2}{4-ab}=\sum (1-\frac{2-ab}{4-ab})=3-\sum \frac{2-ab}{4-ab}=3-\sum \frac{(2-a)(2+ab)}{(4-ab)(2+ab)}=3-\sum \frac{4-a^2b^2}{-(ab-1)^2+9}\leq 3-\sum \frac{4-a^2b^2}{9}=\frac{5+\sum a^2b^2}{9}\leq \frac{15+\sum a^4}{9}=\frac{15+3}{9}=2= > \sum \frac{1}{4-ab}\leq 1$
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca}\leq \frac{3}{2}$$
BDT $< = > \sum (\frac{1}{3-ab}-\frac{1}{3})\leq \frac{1}{2}< = > \sum \frac{ab}{3-ab}\leq \frac{3}{2}< = > \sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\leq \frac{3}{2}$
Mà $a^2+b^2+c^2-ab\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}= > \sum \frac{ab}{a^2+b^2-ab+c^2}\leq \sum \frac{ab}{\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}}=2\sum \frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}=2\sum \frac{ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq 2\sum \frac{(a+b)^2}{4{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}}=\frac{1}{2}\sum \frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})=\frac{1}{2}(\sum \frac{a^2}{a^2+c^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2})=\frac{3}{2}$
Bài này em làm theo cách này ạ
Giải
Ta có
$\frac{2}{3}-\frac{1}{3-ab}= \frac{3-2ab}{3(3-ab)}$
BĐT cần C/m $\Leftrightarrow \sum \frac{3-2ab}{3-ab}\geq \frac{3}{2}$ $(*)$
Lại có $3-2ab=a^2+b^2+c^2-2ab=(a-b)^2+c^2$
Do vậy BĐT $\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \sum \frac{(a-b)^2}{3-ab} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \sum \frac{a^2}{3-bc} \end{pmatrix}\geq \frac{3}{2}$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có
$\frac{(a-b)^2}{3-ab}+\frac{(b-c)^2}{3-bc}+\frac{(a-c)^2}{3-ca}\geq \frac{4(a-c)^2}{9-(ab+bc+ca)}$
$\sum \frac{a^2}{3-bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9-(ab+bc+ca)}$
$\Rightarrow VT(*)\geq \frac{(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{9-(ab+bc+ca)}$
Cần C/m $\frac{(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{9-(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow -(a-c)^2+7(b-a)(b-c)\leq 0$
Như vậy chỉ cần chỉ ra $(a-b)(b-c)\geq 0$ là BĐT đúng
Đánh giá tương tự ta cũng chỉ ra $(b-c)(c-a)\geq 0;(c-a)(a-b)\geq 0$
Ta có $(a-b)(b-c)(b-c)(c-a)(c-a)(a-b)=\prod (a-b)^2\geq 0$
$\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất một trong ba số $(a-b)(b-c);(b-c)(c-a);(c-a)(a-b)$ không âm
$\Rightarrow$ Đpcm. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
s hk hiu . zai zup bai nay dum!
cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn điều kiện: $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$ . Tim GTLN của biểu thức:
p=$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$
Có thể làm cách khác:
Quy đồng mẫu số ta được bất đẳng thức tương đương là
$16+abc(a+b+c) \geqslant a^2b^2c^2+8(ab+bc+ca)$ (1)
Áp dụng BĐT Schur bậc 2 ta có
$\sum a^2(a-b)(a-c)\geqslant 0$
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum a^3(b+c)$
$\Rightarrow 3+abc(a+b+c)\geqslant \sum a^3(b+c)$
$\Rightarrow 9+3abc(a+b+c)\geqslant 3\sum a^3(b+c)$ (2)
Từ (1) và (2) ta cần chứng minh
$7+3\sum a^3(b+c)\geqslant a^2b^2c^2+8(ab+bc+ca)$
BĐT trên luôn đúng do AM-GM $1 \geqslant a^2b^2c^2$
$3\sum a^3(b+c) + 6 \geqslant 8(ab+bc+ca)$
Vậy ta có đpcm
mấy cái BĐT phụ đó e chưa có học, ace nào biết cách cm đơn giản hơn k
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh