Chủ đề này có 7 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca}\leq \frac{3}{2}$$

[khanghaxuan]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca}\leq \frac{3}{2}$$

$\sum \frac{1}{3-ab}\leq \sum \frac{2}{3+c^{2}}$

 

Tới đây dùng pp UCT là xong ! 

[NMCT]

$\sum \frac{1}{3-ab}\leq \sum \frac{2}{3+c^{2}}$

 

Tới đây dùng pp UCT là xong ! 

s hk hiu . zai zup bai nay dum!

cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn điều kiện: $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$ . Tim GTLN của biểu thức:

p=$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NMCT: 26-02-2015 - 16:51

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca}\leq \frac{3}{2}$$

 BDT  $< = > \sum (\frac{1}{3-ab}-\frac{1}{3})\leq \frac{1}{2}< = > \sum \frac{ab}{3-ab}\leq \frac{3}{2}< = > \sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\leq \frac{3}{2}$

 

Mà $a^2+b^2+c^2-ab\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}= > \sum \frac{ab}{a^2+b^2-ab+c^2}\leq \sum \frac{ab}{\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}}=2\sum \frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}=2\sum \frac{ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq 2\sum \frac{(a+b)^2}{4{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}}=\frac{1}{2}\sum \frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})=\frac{1}{2}(\sum \frac{a^2}{a^2+c^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2})=\frac{3}{2}$

[Hoang Tung 126]

s hk hiu . zai zup bai nay dum!

cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn điều kiện: $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$ . Tim GTLN của biểu thức:

p=$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$

Ta có $\sum \frac{2}{4-ab}=\sum (1-\frac{2-ab}{4-ab})=3-\sum \frac{2-ab}{4-ab}=3-\sum \frac{(2-a)(2+ab)}{(4-ab)(2+ab)}=3-\sum \frac{4-a^2b^2}{-(ab-1)^2+9}\leq 3-\sum \frac{4-a^2b^2}{9}=\frac{5+\sum a^2b^2}{9}\leq \frac{15+\sum a^4}{9}=\frac{15+3}{9}=2= > \sum \frac{1}{4-ab}\leq 1$

[nguyenhongsonk612]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca}\leq \frac{3}{2}$$

 

 BDT  $< = > \sum (\frac{1}{3-ab}-\frac{1}{3})\leq \frac{1}{2}< = > \sum \frac{ab}{3-ab}\leq \frac{3}{2}< = > \sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\leq \frac{3}{2}$

 

Mà $a^2+b^2+c^2-ab\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}= > \sum \frac{ab}{a^2+b^2-ab+c^2}\leq \sum \frac{ab}{\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}}=2\sum \frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}=2\sum \frac{ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq 2\sum \frac{(a+b)^2}{4{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}}=\frac{1}{2}\sum \frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})=\frac{1}{2}(\sum \frac{a^2}{a^2+c^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2})=\frac{3}{2}$

Bài này em làm theo cách này ạ

Giải

Ta có

$\frac{2}{3}-\frac{1}{3-ab}= \frac{3-2ab}{3(3-ab)}$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow \sum \frac{3-2ab}{3-ab}\geq \frac{3}{2}$ $(*)$

Lại có $3-2ab=a^2+b^2+c^2-2ab=(a-b)^2+c^2$

Do vậy BĐT $\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \sum \frac{(a-b)^2}{3-ab} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \sum \frac{a^2}{3-bc} \end{pmatrix}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có 

$\frac{(a-b)^2}{3-ab}+\frac{(b-c)^2}{3-bc}+\frac{(a-c)^2}{3-ca}\geq \frac{4(a-c)^2}{9-(ab+bc+ca)}$

$\sum \frac{a^2}{3-bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9-(ab+bc+ca)}$

$\Rightarrow VT(*)\geq \frac{(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{9-(ab+bc+ca)}$

Cần C/m $\frac{(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{9-(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow -(a-c)^2+7(b-a)(b-c)\leq 0$

Như vậy chỉ cần chỉ ra $(a-b)(b-c)\geq 0$ là BĐT đúng

Đánh giá tương tự ta cũng chỉ ra $(b-c)(c-a)\geq 0;(c-a)(a-b)\geq 0$

Ta có $(a-b)(b-c)(b-c)(c-a)(c-a)(a-b)=\prod (a-b)^2\geq 0$

$\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất một trong ba số $(a-b)(b-c);(b-c)(c-a);(c-a)(a-b)$ không âm

$\Rightarrow$ Đpcm. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[25 minutes]

s hk hiu . zai zup bai nay dum!

cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn điều kiện: $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$ . Tim GTLN của biểu thức:

p=$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$

Có thể làm cách khác:

Quy đồng mẫu số ta được bất đẳng thức tương đương là 

         $16+abc(a+b+c) \geqslant a^2b^2c^2+8(ab+bc+ca)$    (1)

Áp dụng BĐT Schur bậc 2 ta có 

                     $\sum a^2(a-b)(a-c)\geqslant 0$

$\Rightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum a^3(b+c)$

$\Rightarrow 3+abc(a+b+c)\geqslant \sum a^3(b+c)$

$\Rightarrow 9+3abc(a+b+c)\geqslant 3\sum a^3(b+c)$         (2)

Từ (1) và (2) ta cần chứng minh 

                     $7+3\sum a^3(b+c)\geqslant a^2b^2c^2+8(ab+bc+ca)$

BĐT trên luôn đúng do AM-GM     $1 \geqslant a^2b^2c^2$

                                                      $3\sum a^3(b+c) + 6 \geqslant 8(ab+bc+ca)$

Vậy ta có đpcm

 

[tranvantu]

mấy cái BĐT phụ đó e chưa có học, ace nào biết cách cm đơn giản hơn k