Với a,b,c dương chứng minh rằng: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+c} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$
Với a,b,c dương chứng minh rằng: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+c} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$
Với a,b,c dương chứng minh rằng: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+c} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$
đổi $\left ( \frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c} \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$
do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$
không mất tính tổng quát giả sử $z=min\left \{ x,y,z \right \}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z\leq 1\\xy\geq 1 \end{matrix}\right.$
ta có $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{2}{1+\sqrt{xy}} \right )^2=\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}$
do đó ta cần chứng minh $\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $z\leq 1$
cái này biến đổi tương đương là ra hay xét hàm cũng được
p/s:một bài với cách làm tương tự là TST VN 2005
với $a,b,c>0$.CMR $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3\geq \frac{3}{8}$
U-Th
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-01-2015 - 05:02
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
đổi $\left ( \frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c} \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$
do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$
không mất tính tổng quát giả sử $z=min\left \{ x,y,z \right \}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z\leq 1\\xy\geq 1 \end{matrix}\right.$
ta có $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{2}{1+\sqrt{xy}} \right )^2=\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}$
do đó ta cần chứng minh $\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $z\leq 1$
cái này biến đổi tương đương là ra hay xét hàm cũng được
p/s:một bài với cách làm tương tự là TST VN 2005
với $a,b,c>0$.CMR $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3\geq \frac{3}{8}$
U-Th
Bạn có thể biến đổi tương đương dùm mình không? Mình làm nhưng bị ngược dấu!
$\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2 \geq \frac{1}{3}\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \right )^2$
Gỉa sử $a \geq b \geq c$ thì cm đc:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}$
Suy ra đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kanashini: 18-01-2015 - 21:21
bạn có thể giúp mình cách cm bđt mà bạn nói ko ? ^^!
$\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2 \geq \frac{1}{3}\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \right )^2$
Gỉa sử $a \geq b \geq c$ thì cm đc:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}$
Suy ra đpcm.
bạn có thể giúp mình cách CM BĐT mà bạn nói ko ? ^^!
CM:
Xét hiệu:
$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}- \dfrac{3}{2}=\dfrac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh