Chủ đề này có 6 trả lời

[Supermath98]

Với a,b,c dương chứng minh rằng:    $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+c} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

 

 

 

[nhungvienkimcuong]

Với a,b,c dương chứng minh rằng:    $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+c} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

đổi $\left ( \frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c} \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$

do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$

không mất tính tổng quát giả sử $z=min\left \{ x,y,z \right \}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z\leq 1\\xy\geq 1 \end{matrix}\right.$

ta có $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{2}{1+\sqrt{xy}} \right )^2=\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}$

do đó ta cần chứng minh $\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $z\leq 1$

cái này biến đổi tương đương là ra hay xét hàm cũng được

 

p/s:một bài với cách làm tương tự là TST VN 2005

với $a,b,c>0$.CMR $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3\geq \frac{3}{8}$

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-01-2015 - 05:02

[Supermath98]

đổi $\left ( \frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c} \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$

do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$

không mất tính tổng quát giả sử $z=min\left \{ x,y,z \right \}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z\leq 1\\xy\geq 1 \end{matrix}\right.$

ta có $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{2}{1+\sqrt{xy}} \right )^2=\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}$

do đó ta cần chứng minh $\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $z\leq 1$

cái này biến đổi tương đương là ra hay xét hàm cũng được

 

p/s:một bài với cách làm tương tự là TST VN 2005

với $a,b,c>0$.CMR $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3\geq \frac{3}{8}$

 

U-Th

Bạn có thể biến đổi tương đương dùm mình không? Mình làm nhưng bị ngược dấu!

[kanashini]

$\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2 \geq \frac{1}{3}\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \right )^2$

 

Gỉa sử $a \geq b \geq c$ thì cm đc:

 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq  \frac{3}{2}$

 

Suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kanashini: 18-01-2015 - 21:21

[thatp]

bạn có thể giúp mình cách cm bđt mà bạn nói ko ? ^^!

[thatp]

$\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2 \geq \frac{1}{3}\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \right )^2$

 

Gỉa sử $a \geq b \geq c$ thì cm đc:

 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq  \frac{3}{2}$

 

Suy ra đpcm.

bạn có thể giúp mình cách CM BĐT mà bạn nói ko ? ^^!

[kanashini]

CM:

 

Xét hiệu:

 

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}- \dfrac{3}{2}=\dfrac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$