Chủ đề này có 4 trả lời

[ngutoanso1]

Cho x, y thỏa mãn $x+y=1$ . tìm GIÁ TRỊ LỚN NHẤT   $\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngutoanso1: 23-01-2015 - 20:27

[anhxtanh pro]

Cho x, y thỏa mãn $x+y=1$ . tìm GTNN $\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

P/s : bài này mình nghĩ là đề sai, phải tìm GTLN mới đúng

thay 1=$thay 1=(x+y)^{3}ta có : \frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}= \frac{(x+y)^{3}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{(x+y)^{3}}{xy}= 1+\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}+ 3 + \frac{x\^{3}+y^{3}}{xy} . sau đó áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số và tìm dau bang$

[ngutoanso1]

thay 1=$thay 1=(x+y)^{3}ta có : \frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}= \frac{(x+y)^{3}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{(x+y)^{3}}{xy}= 1+\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}+ 3 + \frac{x\^{3}+y^{3}}{xy} . sau đó áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số và tìm dau bang$

đẳng thức không xảy ra

[Chung Anh]

Cho x, y thỏa mãn $x+y=1$ . tìm GTNN $\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

P/s : bài này mình nghĩ là đề sai, phải tìm GTLN mới đúng

*Nếu x,y >0

=> $1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\geq xy\Leftrightarrow 1-3xy\geq \frac{1}{4}> 0$

Ta có: $\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

           $=\frac{1}{(x+y)(x^2+y^2-xy)}+\frac{3}{3xy}$

           $=\frac{1}{1-3xy}+\frac{(\sqrt{3})^2}{3xy}$

           $\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}$    (Cauchy-Schwarz dạng phân thức)

           $=(1+\sqrt{3})^2$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{1}{1-3xy}=\frac{\sqrt{3}}{3xy} &  & \\ x+y=1&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}xy=\frac{3-\sqrt{3}}{6} &  & \\ x+y=1&  & \end{matrix}\right. $(đến đây thì sử dụng công thức nghiệm là ra,mình tính thử rồi,có tìm được nhưng ngại viết)

*Nếu một trong hai số x hoặc y <0

Ta có $BT=\frac{1}{(1-3xy)3xy} $

Dễ thấy BT trên <0 và xy càng nhỏ thì biểu thức càng nhỏ do 1-3xy>0 và 3xy<0

Kết luận:Biểu thức không có GTNN

.

P/s:Mình nghĩ bạn thiếu điều kiện x,y>0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 23-01-2015 - 17:58

[ngutoanso1]

*Nếu x,y >0

=> $1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\geq xy\Leftrightarrow 1-3xy\geq \frac{1}{4}> 0$

Ta có: $\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

           $=\frac{1}{(x+y)(x^2+y^2-xy)}+\frac{3}{3xy}$

           $=\frac{1}{1-3xy}+\frac{(\sqrt{3})^2}{3xy}$

           $\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}$    (Cauchy-Schwarz dạng phân thức)

           $=(1+\sqrt{3})^2$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{1}{1-3xy}=\frac{\sqrt{3}}{3xy} &  & \\ x+y=1&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}xy=\frac{3-\sqrt{3}}{6} &  & \\ x+y=1&  & \end{matrix}\right. $(đến đây thì sử dụng công thức nghiệm là ra,mình tính thử rồi,có tìm được nhưng ngại viết)

*Nếu một trong hai số x hoặc y <0

Ta có $BT=\frac{1}{(1-3xy)3xy} $

Dễ thấy BT trên <0 và xy càng nhỏ thì biểu thức càng nhỏ do 1-3xy>0 và 3xy<0

Kết luận:Biểu thức không có GTNN

.

P/s:Mình nghĩ bạn thiếu điều kiện x,y>0

gtnn mình tự giải được rồi nhưng đẳng thức xảy ra khi x,y là vô tỉ   nên mình đoán là mình ghi nhầm đề, đề bài đúng là tìm lớn nhất. cái này thì chịu