Chủ đề này có 2 trả lời

[nghia_metal]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh $\frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)$

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh $\frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)$

Áp dụng bđt $\sum xy\leq \frac{(\sum x)^2}{3}$

 

   Ta có : $\frac{\sum a^4}{\sum ab}+\frac{3abc}{\sum a}\geq \frac{\sum a^4}{\frac{(\sum a)^2}{3}}+\frac{3abc}{\sum a}=\frac{3\sum a^4+3abc\sum a}{(\sum a)^2}$

 

Do đó ta cần chứng minh: $\frac{3\sum a^4+3abc\sum a}{(\sum a)^2}\geq \frac{2\sum a^2}{3}< = > 9\sum a^4+9abc\sum a\geq 2(\sum a^2)(\sum a)^2=2(\sum a^2)(\sum a^2+2\sum ab)< = > 7\sum a^4+5abc\sum a\geq 4\sum a^2b^2+4\sum ab(a^2+b^2)$

 

Mặt khác theo bđt Schur bậc 4 và AM_GM thì :

 

  $5(\sum a^4+abc\sum a)\geq 5\sum ab(a^2+b^2)$

 

   $\sum ab(a^2+b^2)\geq 2\sum a^2b^2$

 

   $2\sum a^4\geq 2\sum a^2b^2$

 

Cộng theo vế và thu gọn ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

[dogsteven]

Bất đẳng thức tương đương với: $\dfrac{3(a^4+b^4+c^4)}{ab+bc+ca}+\dfrac{9abc}{a+b+c} \geqslant 2(a^2+b^2+c^2)$

Ta sẽ chứng minh: $\dfrac{3(a^4+b^4+c^4)}{ab+bc+ca}-3(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow \sum (4b^2+4c^2+6a^2-4bc)(a-b)(a-c) \geqslant 0$ viết gọn lại là $\sum M_a(a-b)(a-c) \geqslant 0$

Ta có $M_a, M_b, M_c \geqslant 0$. Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $M_a-M_b=2(a+b+2c)(a-b) \geqslant 0$.

Khi đó $\sum M_a(a-b)(a-c) \geqslant (a-b)(b-c)(M_a-M_b)+M_c(a-c)(b-c) \geqslant 0$

Khi đó ta chỉ cần chứng minh: $a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\geqslant 2(ab+bc+ca) \Leftrightarrow (a+b-c)(a-b)^2+c(a-c)(b-c)\geqslant 0$

Hoàn tất chứng minh.