Chủ đề này có 4 trả lời

[Phanh]

Chứng minh với mọi số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$ ta có $0\leq ab+bc+ca-abc\leq 2$

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh với mọi số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$ ta có $0\leq ab+bc+ca-abc\leq 2$

bài này xuất hiện rất nhiều ở các tài liệu,bạn tham khảo các cách làm ở tài liệu sau và một vài bài tương tự dạng trên

 BDT-VoQuocBa Can.pdf   487.88K   78 Số lần tải

 

U-Th

[nguyenhongsonk612]

Chứng minh với mọi số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$ ta có $0\leq ab+bc+ca-abc\leq 2$

Thử đổi biến kiểu này xem thế nào bạn

$(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}};\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}};\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}} \end{pmatrix}$

[dogsteven]

Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$ thì $ab+bc+ca-abc=bc(1-a)+a(b+c) \geqslant 0$

Tồn tại $t\geqslant 0$ để $2t^2-b^2-c^2=a(bc-t^2)$. Chứng minh được $b^2+c^2\geqslant 2t^2\geqslant 2bc$

$b^2+c^2-2t^2+2(bc-t^2)=(2-a)(bc-t^2)\leqslant 0$ nên $b+c\leqslant 2t$

Do đó $ab+bc+ca-abc\leqslant 2at+(1-a)t^2$

Thế trực tiếp $a=2-t^2$ là ra.

[thanhducmath]

Mình CM bất đẳng thứ bên phải như thế này:

Theo nguyên lí dirichlet ta có trong 3 số a-1, b-1, c-1 luôn có 2 số cùng dấu và chúng có vai trò như nhau nên ta giả sử

$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b
\Leftrightarrow abc+c\geq ac+bc$

Từ đó ta có :

$ab+ac+bc-abc\leq c+ab$

Từ giả thiết:

$4-c^{2}=abc+a^{2}+b^{2}\geq ab(c+2)\Rightarrow (2+c)(2-c-ab)\geq 0
\Rightarrow 2\geq c+ab$

$\Rightarrow ab+ac+bc-abc\leq2$