Chủ đề này có 3 trả lời

[MRTYPN2000]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$$

[rainbow99]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$$

Đặt $a=x^{3}$; $b=y^{3}$; $c=z^{3} \Rightarrow xyz=1$

Khi đó P trở thành:

$\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}+1}$

Ta có 

$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$$\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}\geq 0$(đúng$\forall x,y>0 $)

Tương tự:$y^{3}+z^{3}\geq yz(y+z)$

$z^{3}+x^{3}\geq zx(z+x)$

Vậy P$\geq$$\frac{xyz}{xy(x+y)+xyz}+\frac{xyz}{yz(y+z)+xyz}+\frac{xyz}{zx(z+x)+xyz}=\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z $\Rightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 03-02-2015 - 15:54

[NAGATOPain]

P = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NAGATOPain: 03-02-2015 - 16:51

[dogsteven]

Đặt $(a,b,c)=(x^2, y^2, z^2)$ với $x,y,z>0$ thì ta sẽ chứng minh $\sum \dfrac{1}{y^2+z^2+1} \leqslant 1$

Tương đương với: $\sum \dfrac{y^2+z^2}{y^2+z^2+1} \geqslant 2 \Leftrightarrow \sum \dfrac{(y+z)^2}{y^2+z^2+1}+\sum \dfrac{(y-z)^2}{y^2+z^2+1} \geqslant 4$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $LHS\geqslant \dfrac{4(x+y+z)^2+4(x-z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)+3}$

Do đó ta cần chứng minh: $(x+y+z)^2+(x-z)^2 \geqslant 2(x^2+y^2+z^2)+3 \Leftrightarrow 2y(z+x) \geqslant y^2+3$

Chứng minh được $xy+yz+zx\geqslant 3 $ nên ta cần chứng minh $(x-y)(y-z)\geqslant 0$

Giả sử $y$ nằm giữa $x$ và $z$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.