Chủ đề này có 1 trả lời

[nhungvienkimcuong]

cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.$M$ là trung điểm $BC$ và $M'=AM\cap (O)$.Tiếp tuyến tại $M'$ cắt đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AO$ tại $X$.$Y,Z$ được xác định tương tự.Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-02-2015 - 21:28

[ChiLanA0K48]

cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.$M$ là trung điểm $BC$ và $M'=AM\cap (O)$.Tiếp tuyến tại $M'$ cắt đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AO$ tại $X$.$Y,Z$ được xác định tương tự.Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng

 

U-Th

Ý tưởng ta sẽ chứng minh $X,Y, Z$ cùng thuộc trục đẳng phương của đường tròn $(O)$ và đường tròn Euler của tam giác $ABC$

Bài giải

Gọi $D$ là giao điểm $AO$ với $(O)$

Gọi $I$ là trung điểm $AH$

Kết quả quen thuộc, ta có $M$ cũng là trung điểm $HD$

Suy ra $IM$ là đường trung bình tam giác $HAD$

Suy ra $IM\parallel OA$

Gọi $N$ là tâm Euler của tam giác $ABC$ suy ra $NM\parallel OA$

Lại có $XM\perp OA$ suy ra $XM\perp NM$

Suy ra $X$ là giao điểm tiếp tuyến tại $M$ của $(N)$ và tiếp tuyến tại $M'$ của $(O)$

Gọi $P$ là giao điểm $XM$ và $OA$ suy ra $MPDM'$ nội tiếp

Suy ra $\angle AMP=\angle ADM'=\angleMM'X$

Suy ra $\angle M'MX=\angle M'MX$

Suy ra $XM=XM'$ suy ra $MX^2=M'X^2$

Suy ra X có cùng phương tích đến $(O)$ và $(N)$

Tương tự với $Y,Z$

Suy ra $X, Y, Z$ thẳng hàng.