9 replies to this topic

[Math Hero]

Cho x+y+z=3 và $x,y,z> 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$

Edited by Math Hero, 10-02-2015 - 21:02.

[dogsteven]

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\geqslant xy+yz+zx$ nên $P\geqslant 1+\dfrac{1}{xy+yz+zx}\geqslant 1+\dfrac{3}{(x+y+z)^2}=\dfrac{4}{3}$

[Nguyen Huy Hoang]

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\geqslant xy+yz+zx$ nên $P\geqslant 1+\dfrac{1}{xy+yz+zx}\geqslant 1+\dfrac{3}{(x+y+z)^2}=\dfrac{4}{3}$

Chứng minh ? $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\geqslant xy+yz+zx$ 

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức Holder: $(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})^3(x+y+z)^5 \geqslant (x^{3/4}+y^{3/4}+z^{3/4})^8$

Khi đó cần chứng minh: $3^5(xy+yz+zx)^3\leqslant (x^{3/4}+y^{3/4}+z^{3/4})^8$

Đặt $a^4=x, b^4=y, c^4=z$ $(a,b,c>0)$ và chuẩn hóa $a^3+b^3+c^3=3$ và ta cần chứng minh $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\leqslant 3$

$b^3+c^3+1\geqslant 3bc\Leftrightarrow b^4c^4\leqslant \dfrac{4b^3c^3-a^3b^3c^3}{3}$

Tương tự rồi cộng lại sẽ ra BDT Schur bậc 3.

Edited by dogsteven, 10-02-2015 - 21:19.

[binhnhaukhong]

Kể cả với $a+b+c\leq 3$ ta vẫn có BĐT đúng

[Math Hero]

Áp dụng bất đẳng thức Holder: $(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})^3(x+y+z)^5 \geqslant (x^{3/4}+y^{3/4}+z^{3/4})^8$

Khi đó cần chứng minh: $3^5(xy+yz+zx)^3\leqslant (x^{3/4}+y^{3/4}+z^{3/4})^8$

Đặt $a^4=x, b^4=y, c^4=z$ $(a,b,c>0)$ và chuẩn hóa $a^3+b^3+c^3=3$ và ta cần chứng minh $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\leqslant 3$

$b^3+c^3+1\geqslant 3bc\Leftrightarrow b^4c^4\leqslant \dfrac{4b^3c^3-a^3b^3c^3}{3}$

Tương tự rồi cộng lại sẽ ra BDT Schur bậc 3.

Còn cách nào khác dễ hiểu hơn không bạn. mình mới học lớp 10 thôi

[Math Hero]

Ai còn cách khác ko

[Nguyen Huy Hoang]

Kể cả với $a+b+c\leq 3$ ta vẫn có BĐT đúng

Bạn giải thích rõ hơn đi?

[binhnhaukhong]

Bạn giải thích rõ hơn đi?

Thì bạn dogsteven đã chứng minh rồi đó chỉ là mình mở rộng thêm thôi!

[nhungvienkimcuong]

Cho x+y+z=3 và $x,y,z> 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$

ta có $2x^2+3\sqrt[3]{x}\geq 5x$ do đó $3\sum \sqrt[3]{x}\geq 15-2\sum x^2=15+4\sum xy-2\left ( \sum x \right )^2=4\sum xy-3$

tới đây ok rồi

Spoiler

dùng $\sum \sqrt[3]{x}\geq \sum xy$ thì búa hơi lớn rồi,dạng này chỉ cho đại học chứ chưa đến hsg

 

U-Th

Edited by nhungvienkimcuong, 10-02-2015 - 22:03.