Bài 1 .
Cho đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác ABC có H là trực tâm . Trên cung nhỏ BC lấy điểm M . Gọi N,I , K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB . Chứng minh
a) ba điểm K, N, I thẳng hàng
b)$\frac{AB}{MK}+\frac{AC}{MI}=\frac{BC}{MN}$
c) NK đi qua trung điểm của HM
Giả sử AB lớn hơn AC
a.Do KNMB nội tiếp nên góc $\widehat{KNM}+\widehat{KBM}=180^{\circ}$ (1)
Do ABMC nội tiếp nên $\widehat{ABM}=\widehat{MCI} $ (2)
Do NCIM nội tiếp nên $\widehat{MCI}=\widehat{MNI} $ (3)
Từ (1),(2),(3) ta có $\widehat{KNM}+\widehat{MNI}=180^{\circ} $
=>đpcm
b.Do $\widehat{KBM}=\widehat{MCI} $ nên $\Delta BKM\sim \Delta CIM\Rightarrow \frac{BK}{MK}=\frac{CI}{MI}$
=>$\frac{AB}{MK}+\frac{AC}{MI}=\frac{AK}{MK}+\frac{BK}{MK}+\frac{AI}{MI}-\frac{CI}{MI} =\frac{AK}{MK}+\frac{AI}{MI} $
Lại có $\frac{AK}{MK}=\frac{CN}{NM} $ (do góc KAM và NCM bằng nhau)
Và $\frac{AI}{MI}=\frac{BN}{NM} $
=>đpcm