3 replies to this topic

[Super Fields]

ĐỀ

 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh hoặc phủ định bất đẳng thức sau:

 

$$\sum \frac{\sqrt{a}}{b+c}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}$$

[TMW]

ĐỀ

 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh hoặc phủ định bất đẳng thức sau:

 

$$\sum \frac{\sqrt{a}}{b+c}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}$$

p\s: Rảnh rỗi sinh nông nổi.

Do hai vế đồng bậc nên chuẩn hóa: a + b + c = 3 ( thực ra chỉ là phép đặt 3x / (x+y+z) .......... )

Bất đẳng thức thành: $\sum \frac{\sqrt{a}}{b+c}\geq \frac{3}{2}$ 

Hay : $\sum \frac{\sqrt{a}}{3-a}\geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chứng tỏ được là : $\frac{\sqrt{a}}{3-a}\geq \frac{a}{2}$

<=> $\left ( \sqrt{a}-1 \right )^{2}(\sqrt{a}+2)\geq 0$

Bài toán được giải quyết

p\s: Cách giải nầy "xấu" quá

Edited by TMW, 14-02-2015 - 14:26.

[TMW]

p\s: Rảnh rỗi sinh nông nổi.

Do hai vế đồng bậc nên chuẩn hóa: a + b + c = 3 ( thực ra chỉ là phép đặt 3x / (x+y+z) .......... )

Bất đẳng thức thành: $\sum \frac{\sqrt{a}}{b+c}\geq \frac{3}{2}$ 

Hay : $\sum \frac{\sqrt{a}}{3-a}\geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chứng tỏ được là : $\frac{\sqrt{a}}{3-a}\geq \frac{a}{2}$

<=> $\left ( \sqrt{a}-1 \right )^{2}(\sqrt{a}+2)\geq 0$

Bài toán được giải quyết

p\s: Cách giải nầy "xấu" quá

Bất đẳng thức nessbit cũng cho kết quả tương tự

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

Trong trường hợp a+b+c =3 liệu bất đẳng thức nào "mạnh" hơn

[TMW]

Bất đẳng thức nessbit cũng cho kết quả tương tự

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

Trong trường hợp a+b+c =3 liệu bất đẳng thức nào "mạnh" hơn

P\s: Rảnh rỗi đâm tự kỉ.

Ta thấy Nestbit là một bất đẳng thức khá nổi tiếng nên dự đoán là nó sẽ mạnh hơn.

Sử dụng cách tương tự như trên ta sẽ chứng tỏ:

$\sum \frac{a-\sqrt{a}}{3-a}\geq 0$

Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta có : $\frac{a-\sqrt{a}}{3-a}\geq \frac{a-1}{4}$

Nếu ta đặt t = căn a thì bất đẳng thức thành: $\left ( t-1 \right )^{2}(t^{2}+2t+3)\geq 0$ (đúng)

Vậy, nó yếu hơn nessbit