Chủ đề này có 1 trả lời

[eminemdech]

Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn $abc\doteq \frac{1}{6}$

Chứng minh rằng $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$

[GeminiKid]

Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn $abc\doteq \frac{1}{6}$

Chứng minh rằng $3+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$

$abc= \frac{1}{6}\Leftrightarrow a.2b.3c= 1\rightarrow$ tồn tại 3 số thực dương m,n,p sao cho $a= \frac{m}{n},2b= \frac{p}{m},3c= \frac{n}{p}$

bđt viết lại thành $3+\frac{m^{2}}{pn}+\frac{p^{2}}{mn}+\frac{n^{2}}{mp}\geq \frac{m}{n}+\frac{p}{m}+\frac{n}{p}+\frac{n}{m}+\frac{m}{p}+\frac{p}{n}$

$\Leftrightarrow \sum m^{3}=3mnp\geq \sum mn\left ( m+n \right )$$\Leftrightarrow \sum m\left ( m-n \right )\left ( m-p \right )\geq 0$(bđt schur)

ko mất tính tổng quát ta gs $m\geq n\geq p\Rightarrow p\left ( p-n \right )\left ( p-m \right )\geq 0$

mặt khác có $m\left ( m-p \right )\left ( m-n \right )+n\left ( n-m \right )\left ( n-p= \right )= \left ( m-n \right )=\left ( m-n \right )^{2}\left ( n-p \right )\geq 0$

$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GeminiKid: 20-02-2015 - 21:37