3 replies to this topic

[Linh Naughty]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

Edited by hachinh2013, 18-02-2015 - 10:01.

[the man]

Xét các TH $\widehat{BAC}<90^{\circ},\widehat{BAC}=90^{\circ},\widehat{BAC}>90^{\circ}$

[dinhnguyenhoangkim]

Bạn giải cụ thể luôn được không ?

[the man]

TH: $\widehat{BAC}<90^{\circ}\Rightarrow \widehat{BIC}>90^{\circ}$

  Gọi $K$ là điểm đối xứng của $I$ qua $EF \Rightarrow \widehat{EIF}=\widehat{EAF}$

  $\widehat{EKF}=\widehat{EIF} \Rightarrow \widehat{EKF}=\widehat{EAF}, AKFE$ là tứ giác nội tiếp 

  $\Rightarrow \widehat{KAB}=\widehat{KEF}$

  $\widehat{IEF}=\widehat{KEF}, \widehat{IEF}=\widehat{BIK}$

  Từ $(1), (2), (3)\Rightarrow \widehat{KAB}=\widehat{BIK}\Rightarrow AKBI$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow K\epsilon (O)$

  Mà $EF$ là đường trung trực của $KI \Rightarrow E,O,F$ thẳng hàng 

Th$\widehat{BAC}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{BIC}=90^{\circ}\Rightarrow F\equiv B,E\equiv C\Rightarrow EF$ là đường kính $ \Rightarrow EF$ đi qua $O$

TH $\widehat{BAC}>90^{\circ}\Rightarrow \widehat{BIC}<90^{\circ}$, chứng minh tương tự