1 reply to this topic

[kudoshinichihv99]

Chứng minh rằng nếu a,b,c là số thực và abc=1 thì

$\ \sum \sqrt{\frac{a+b}{a+1}}\geqslant 3$

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM trực tiếp: $VT\geqslant 3\sqrt[6]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Ta cần chứng minh: $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant (a+1)(b+1)(c+1)$ (*)

Áp dụng bất đẳng thức Holder: $2a(a+b)(a+c)\geqslant (a+1)^3$. 

Tương tự rồi nhân lại ta được $8[(a+b)(b+c)(c+a)]\geqslant [(a+1)(b+1)(c+1)]^3\geqslant 8[(a+1)(b+1)(c+1)]^2$

Còn một cách để chứng minh (*) là khai triển trực tiếp.