Chủ đề này có 2 trả lời

[Rias Gremory]

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành.Gọi $K$ là trung điểm của cạnh bên $SC$.Mặt phẳng qua $AK$ cắt $SB,SD$ lần lượt tại $M,N$.Chứng Minh:$\frac{4}{3}\leq \frac{SM}{SB}+\frac{SN}{SD}\leq \frac{3}{2}$

[NMDuc98]

Gửi bên k2pi rồi cơ mà thấy bên này thì gửi tiếp :   PH.pdf   214.38K   235 Số lần tải

[E. Galois]

Đặt $\begin{cases} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{c}\end{cases}$.

 Giả sử: $\overrightarrow{SB}=x\overrightarrow{SM};\overrightarrow{SD}=y\overrightarrow{SN}; x, y > 0$

Do $M,N,A,K$ đồng phẳng nên:

$$\begin{equation} \overrightarrow{AK}=u\overrightarrow{AM}+v\overrightarrow{AN}=\frac{u}{x}\overrightarrow{a}+\frac{v}{y}\overrightarrow{b}+\left(u+v-\frac{u}{x}-\frac{v}{y}\right)\overrightarrow{c} \end{equation}$$

Mặt khác:

$$\begin{equation}\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\end{equation}$$

Từ $(1),(2)$ suy ra:

$$\begin{cases}u+v-\frac{u}{x}-\frac{v}{y}=\frac{1}{2}\\ \frac{u}{x}=\frac{1}{2}\\ \frac{v}{y}=\frac{1}{2} \end{cases}$$

Từ đó, ta có:

$$\begin{cases}u+v=\frac{3}{2}\\ \frac{1}{x}=\frac{1}{2u}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{2v} \end{cases}$$

Do đó:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{u+v}{2uv}=\frac{3}{4uv}\geq \frac{4}{3}$$

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \leq \frac{3}{2}$$