Chủ đề này có 5 trả lời

[hello123321]

Bài 1:

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\large x^2+y^2+z^2\leq xyz$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\large A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}$

 

Bài 2:

cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiên: $\large \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

chứng minh rằng: $\large \frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

 

Bài 3:

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1

chứng minh rằng: $\large \frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\geq 14$

[hoanglong2k]

 

Bài 2:

cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiên: $\large \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

chứng minh rằng: $\large \frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

 

Bài 3:

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1

chứng minh rằng: $\large \frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\geq 14$

2. $GT\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc$

Ta có: $\sum \frac{a^2}{a+bc}=\sum \frac{a^3}{a^2+abc}=\sum \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}$

AM-GM: $\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Thiết lập các bđt tương tự có đpcm

3. $\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2}{xy+yz+xz}+\frac{2}{2xy+2yz+2xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\geq \frac{2}{\frac{(x+y+z)^2}{3}}+\frac{8}{(x+y+z)^2}=14$

[Chung Anh]

Bài 1:

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\large x^2+y^2+z^2\leq xyz$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\large A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}$

 

Ta có $x^2+yz \geq 2 \sqrt{x^2yz}$

Nên $A\leq  \frac{x}{2\sqrt{x^2yz}}+\frac{y}{2\sqrt{y^2xz}}+\frac{z}{2\sqrt{z^2xy}}$

             $ =\frac{x\sqrt{yz}}{2\sqrt{x^2y^2z^2}}+\frac{y\sqrt{xz}}{2\sqrt{x^2y^2z^2}}+\frac{z\sqrt{xy}}{2\sqrt{x^2y^2z^2}}$

            $\leq \frac{x(\frac{y+z}{2})}{2xyz}+\frac{y(\frac{x+z}{2})}{2xyz}+\frac{z(\frac{x+y}{2})}{2xyz}$

            $=\frac{xy+yz+zx}{2xyz}$

           $\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}$

           $\leq \frac{xyz}{2xyz}=\frac{1}{2} $

$MaxA=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=3 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 25-02-2015 - 21:16

[GeminiKid]

Bài 1:

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\large x^2+y^2+z^2\leq xyz$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\large A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}$

 

cách khác

$4A\leq \sum \left ( \frac{x}{x^{2}}+\frac{x}{yz} \right )= \sum \left ( \frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{xyz} \right )= \frac{xy+yz+zx}{xyz}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}$

$\leq 2\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz }\leq 2\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}$

dấu "=" khi a=b=c=3

[hello123321]

cách khác

$4A\leq \sum \left ( \frac{x}{x^{2}}+\frac{x}{yz} \right )

 

why ?

[GeminiKid]

why ?

Áp dụng CT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với x,y>0

(dễ dàng cm đc bằng phương pháp biến đổi tương đương)