Chủ đề này có 1 trả lời

[vipqiv]

Từ 1 điểm A nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến AB và AC. Gọi M là trung điểm của AB. Tia CM cắt đường tròn tại N. Tia AN cắt đường tròn tại D. Chứng minh :
a)AB song song với CD.
b)Tìm điều kiện của A để tứ giác ABCD là hình thoi.

[vkhoa]

a)

Ta có $\widehat{MBN} =\widehat{MCB}$

mà $\widehat{NMB} =\widehat{BMC}$

=>$\triangle MBN \sim\triangle MCB$ (g, g)

=>$\frac{MN}{MB} =\frac{MB}{MC}$

<=>$MB^2 =MN .MC =MA^2$

<=>$\frac{MN}{MA} =\frac{MA}{MC}$

mà $\widehat{AMN} =\widehat{CMA}$

=>$\triangle MAN \sim\triangle MCA$ (c, g, c)

=>$\widehat{MAN} =\widehat{MCA} =\widehat{NDC}$

=>AB //CD

 

b)

ABDC là hình thoi <=>ABDC là hình bình hành và BC$\perp$ AD (1)

mà BC$\perp$ AO

=>(1)<=>A, N, O, D thẳng hàng

=>B, C đối xứng nhau qua AD

=>AC đối xứng AB, DC đối xứng DB qua AD

nên từ AB //CD => AC //DB

=>ABDC là hbhành

suy ra ABDC là hình thoi <=> A, N, O ,D thẳng hàng

<=> N là điển chính giữa cung nhỏ BC

<=>CN là phân giác góc ACB

mà CM trung tuyến

<=>ABC cân tại C

<=>ABC đều

<=>NA =NB và $\widehat{ANB} =120^\circ$

<=>NA =NB và NBO đều

<=>NA =NB =ON (đpcm)