Chủ đề này có 3 trả lời

[rainbow99]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 18-03-2015 - 19:52

[JayVuTF]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

$3=\sum ab \geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}\rightarrow abc\leq 1$

$1+a^{2}(b+c)\geq abc+a^{2}(b+c)=a.\sum ab=3a$

$\rightarrow \sum\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}\leq \sum \frac{1}{3a}=\frac{1}{3}.\frac{\sum ab}{abc}=\frac{1}{abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JayVuTF: 18-03-2015 - 20:02

[JayVuTF]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

$3=\sum ab \geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}\rightarrow abc\leq 1$

$\frac{abc}{1+a^{2}(b+c)}=\frac{1}{\frac{1}{abc}+\frac{3}{bc}-1}\leq \frac{1}{\frac{1}{abc}+\frac{3}{bc}-1}\leq \frac{1}{\frac{3}{bc}}=\frac{bc}{3}$

$\rightarrow \sum \frac{abc}{1+a^{2}(b+c)}\leq \frac{1}{3}\sum ab=1$

$\rightarrow  \sum \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

[yeutoanmaimai1]

http://diendantoanho...ableq-frac1abc/