Chủ đề này có 4 trả lời

[yeutoanmaimai1]

Cho (O;R) và 1 điểm I cố định bên trong (O) (I khác O). 2 dây $AC;BD$ thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại $I$. Gọi $E,F,G,H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến các cạnh tứ giác $ABCD$, gọi $M,N,P,Q$ là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$

a,Chứng minh $E,F,F,H,M,N,P,Q$ cùng thuộc 1 đường tròn Tính bán kính đường tròn đó theo $OI$ và R

b, Chứng minh $AC^{2}+BD^{2}$ không đổi

c,Xác định vị trí của AB,CD để $AC+BD$ lớn nhất và tính GTLN đó theo R và OI

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoanmaimai1: 22-03-2015 - 18:32

[the man]

Cho (O;R) và 1 điểm I cố định bên trong (O) (I khác O). 2 dây $AC;BD$ thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại $I$. Gọi $E,F,G,H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến các cạnh tứ giác $ABCD$, gọi $M,N,P,Q$ là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$

a,Chứng minh $E,F,F,H,M,N,P,Q$ cùng thuộc 1 đường tròn 

Việc chứng minh $MNPQ$ là hình chữ nhật thì đơn giản rồi

Từ đó $M,N,P,Q$ thuộc đường tròn tâm $(O')$ với đường kính là $MP$ và $NQ$

Giả sử $E$ thuộc $BC$

$\widehat{QID}=\widehat{QDI};\widehat{QDI}=\widehat{BCI};\widehat{BCI}\widehat{BIE}\Rightarrow \widehat{QID}=\widehat{BIE}\Rightarrow Q,I,E$ thẳng hàng $\Rightarrow \widehat{QEN}=90^{\circ}$

$\Rightarrow E$ thuộc $(O')$

Chứng minh tương tự , $F,H,G$ thuộc $(O')$

[the man]

Cho (O;R) và 1 điểm I cố định bên trong (O) (I khác O). 2 dây $AC;BD$ thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại $I$. Gọi $E,F,G,H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến các cạnh tứ giác $ABCD$, gọi $M,N,P,Q$ là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$

a, Tính bán kính đường tròn đó theo $OI$ và R

 

Kẻ $OG\perp BD,OJ\perp AC$

$MN=CJ=\frac{AC}{2},MQ=BG=\frac{BD}{2}$

$NQ^2=MN^2+MQ^2=CJ^2+BG^2=(R^2-OJ^2)+(R^2-OG^2)=2R^2-OI^2\Rightarrow NO'^2=\frac{2R^2-OI^2}{4}\Rightarrow NO'=\frac{\sqrt{2R^2-OI^2}}{2}$

[the man]

Cho (O;R) và 1 điểm I cố định bên trong (O) (I khác O). 2 dây $AC;BD$ thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại $I$. Gọi $E,F,G,H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến các cạnh tứ giác $ABCD$, gọi $M,N,P,Q$ là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$

b.Chứng minh $AC^{2}+BD^{2}$ không đổi

 

$AC^2+BD^2=4(MN^2+MQ^2)=4NQ^2=8R^2-4IO^2$ không đổi

[the man]

Cho (O;R) và 1 điểm I cố định bên trong (O) (I khác O). 2 dây $AC;BD$ thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại $I$. Gọi $E,F,G,H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến các cạnh tứ giác $ABCD$, gọi $M,N,P,Q$ là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$

c,Xác định vị trí của AB,CD để $AC+BD$ lớn nhất và tính GTLN đó theo R và OI

$AC+BD\leq \sqrt{2(AC^2+BD^2)}=2\sqrt{4R^2-2OI^2}$

Dấu = xảy ra khi $AC=BD\Leftrightarrow AC,BD$ tạo với $OI$ một góc $45^{\circ}$