Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC. Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M, N. Chưng minh rằng: MF = NF.
#2
Đã gửi 25-03-2015 - 20:19
halloffame
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 522 Bài viết
Thiếu úy
Dùng $Menelaus$ cho $\Delta ABC$ với $\overline{K,F,E} : \frac{KB}{KC}.\frac{CE}{EA}.\frac{AF}{FB}=1.$
Dùng $Ceva$ cho $\Delta ABC$ với $AD,BE,CF$ đồng quy $: \frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA}.\frac{AF}{FB}=1.$
Suy ra $\frac{KB}{KC}= \frac{BD}{DC} \rightarrow (KDBC)=-1 \rightarrow (AK,AD,AB,AC)=-1 \rightarrow (AM,AN,AF,AC)=-1.$
Mà $AC//MN \rightarrow (MNF\infty)=-1 \rightarrow MF=NF.$
- moontemple666 yêu thích
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
#3
Đã gửi 25-03-2015 - 20:41
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
Dùng $Menelaus$ cho $\Delta ABC$ với $\overline{K,F,E} : \frac{KB}{KC}.\frac{CE}{EA}.\frac{AF}{FB}=1.$
Dùng $Ceva$ cho $\Delta ABC$ với $AD,BE,CF$ đồng quy $: \frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA}.\frac{AF}{FB}=1.$
Suy ra $\frac{KB}{KC}= \frac{BD}{DC} \rightarrow (KDBC)=-1 \rightarrow (AK,AD,AB,AC)=-1 \rightarrow (AM,AN,AF,AC)=-1.$
Mà $AC//MN \rightarrow (MNF\infty)=-1 \rightarrow MF=NF.$
Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AK$ và $AD$ lần lược tại $P,Q$. Khi đó cần chứng minh $B$ là trung điểm $PQ$
$\widehat{KFB}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}=\widehat{BFD}$. Do đó theo tính chất phân giác trong ngoài ta có $\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{DB}{DC}$
Áp dụng định lý Thales: $\dfrac{BP}{AC}=\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{BQ}{AC}$
Do đó $B$ là trung điểm $PQ$ kéo theo $F$ là trung điểm $MN$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 25-03-2015 - 20:41
- moontemple666 yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
