Chủ đề này có 11 trả lời

[SweetCandy11]

Cho $a, b, c \epsilon R$ Chứng minh các BĐT sau:

 

1/ $a^4+ b^4\leq \frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}$ với $a,b \neq 0$

 

2/ $a^4+3\geq 4a$

 

3/Cho các số thực dương $ a, b $ CMR: $\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SweetCandy11: 26-03-2015 - 20:17

[halloffame]

$1/$ Đặt $a^{2}=x, b^{2}=y$ thì $x, y>0$ và ta cần chứng minh $\frac{x^{3}}{y}+\frac{y^{3}}{x}\geq x^{2}+y^{2}\leftrightarrow x^{4}+y^{4}\geq x^{3}y+xy^{3}\leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})\geq 0$ : đúng $.$

$2/$ _Nếu $a<0$ thì $a^{4}+3 \geq 3>0>4a.$

        _Nếu $a \geq 0$ thì $a^{4}+3=a^{4}+1+1+1 \geq 4a(AM-GM).$

        Vậy trong mọi TH ta có đpcm.

 

Bài cuối bạn thêm STT bài vào đi. Theo mình nghĩ thì đây là các bài thuộc THCS, bạn không nên đăng ở đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 26-03-2015 - 17:10

[SweetCandy11]

Bài 1 :Cho $a, b, c \epsilon R$ Chứng minh các BĐT sau:  \

 

1/ $a^4+ b^4\leq \frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}$ với $a,b \neq 0$

 

Bài 2 : Cho a, b là các số thực dương. CMR: $\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

 

Bài 3: Cho $a, b, c, d > 0$ CMR: 

a/ $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$

 

b/ $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{d^2}+\frac{d^3}{a^2} \geq a +b+c+d$

 

Bài 4: Cho $a,b >0$ và $a+b=1$ và $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$

CMR: $abc\leq \frac{1}{8}$

[ducvipdh12]

Cho $a, b, c \epsilon R$ Chứng minh các BĐT sau:

 

1/ $a^4+ b^4\leq \frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}$ với $a,b \neq 0$

 

2/ $a^4+3\geq 4a$

 

Cho các số thực dương $ a, b $ CMR: $\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

dễ mà bạn,áp dụng BĐT cosi thôi

[SweetCandy11]

$2/$ _Nếu $a<0$ thì $a^{4}+3 \geq 3>0>4a.$

        _Nếu $a \geq 0$ thì $a^{4}+3=a^{4}+1+1+1 \geq 4a(AM-GM).$

Vậy trong mọi TH ta có đpcm.

AM và GM là gì vậy ạ

[halloffame]

 Là côsi đó bạn: $a^{4}+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a.1.1.1}=4a.$

[quan1234]

Đặt $a^2=x, b^2=y$ BĐT có dạng:

$\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}\geq x^2+y^2$

Áp dụng BĐT Cauchy schwars, ta có

$\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}= \frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{xy}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2xy}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2}= x^2+y^2$

Dấu bằng xảy ra khi x=y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 26-03-2015 - 17:36

[hoctrocuaHolmes]

Bài 1 :Cho $a, b, c \epsilon R$ Chứng minh các BĐT sau:  \

 

1/ $a^4+ b^4\leq \frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}$ với $a,b \neq 0$

 

Bài 2 : Cho a, b là các số thực dương. CMR: $\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

 

Bài 3: Cho $a, b, c, d > 0$ CMR: 

a/ $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$

 

b/ $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{d^2}+\frac{d^3}{a^2} \geq a +b+c+d$

 

Bài 4: Cho $a,b >0$ và $a+b=1$ và $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$

CMR: $abc\leq \frac{1}{8}$

Có thiếu đề không bạn,mình nghĩ là a+b+c=1 thì đúng hơn

[quan1234]

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{b}+2\sqrt{a}\Leftrightarrow \frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y

[quan1234]

$\frac{a^3}{b^2}+a+\frac{b^3}{c^2}+b+\frac{c^3}{d^2}+c+\frac{d^3}{a^2}+d\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{a+b+c+d}= a+b+c+d\Leftrightarrow \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{d^2}+\frac{d^3}{a}\geq a+b+c+d$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d

[duythanbg]

3.

 

Ta có : 

 

$a^3+a^3+b^3\geq 3a^2b$

 

Tương tự rồi cộng các BĐT lại ta có ĐPCM.

[Dinh Xuan Hung]

 

 

 

 

b/ $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{d^2}+\frac{d^3}{a^2} \geq a +b+c+d$

 

AM-GM:

$\frac{a^3}{b^2}+b+b\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3b^2}{b^2}}=3a$

CMTT:

$\frac{b^3}{c^2}+c+c\geq 3b$

$\frac{c^3}{d^2}+d+d\geq 3c$

$\frac{d^3}{a^2}+a+a\geq 3d$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^2}+2(a+b+c+d)\geq 3(a+b+c+d)\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^2}\geq a+b+c+d$