Chủ đề này có 1 trả lời

[ynmanhphat]

Tính tích phân: $\iiint {x^2+y^2+z^2} dxdydz $, V là miền giới hạn bởi : $x^2+y^2+x^2=x+y+z$

[sinh vien]

Đặt $x=\frac{1}{2}+rsin\varphi cos\theta ;y=\frac{1}{2}+rsin\varphi sin\theta ;z=\frac{1}{2}+rcos\varphi$;

trong đó $0\leq r\leq \frac{\sqrt{3}}{2};0\leq \theta \leq 2\pi ;0\leq \varphi \leq \pi$. Định thức hàm $J=r^{2}sin\varphi$

 Do đó $\int_{0}^{2\pi }d\theta \int_{0}^{\pi }d\varphi \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\frac{3}{2}+rsin\varphi cos\theta +rsin\varphi sin\theta +rcos\varphi )r^{2}sin\varphi dr$. Tách tích phân trên thành 4 phần:

$I_{1}=\frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi }d\theta \int_{0}^{\pi }sin\varphi d\varphi \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}r^{2}dr$ 

$I_{2}=\int_{0}^{2\pi }cos\theta d\theta \int_{0}^{\pi }sin^{2}\varphi d\varphi \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}r^{3}dr$

$I_{3}=\int_{0}^{2\pi }sin\theta d\theta \int_{0}^{\pi }sin^{2}\varphi d\varphi \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}r^{3}dr$

$I_{4}=\int_{0}^{2\pi }d\theta \int_{0}^{\pi }cos\varphi sin\varphi d\varphi \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}r^{3}dr$.

 Ta thấy $\int_{0}^{2\pi }cos\theta d\theta =\int_{0}^{2\pi }sin\theta d\theta =\int_{0}^{\pi }cos\varphi sin\varphi d\varphi =0$ nên

 

$I=\frac{3}{2}\times 2\pi \times 2\times \frac{\sqrt{3}}{8}$