Chủ đề này có 4 trả lời

[tim1nuathatlac]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm Max của:

 

$P=\frac{y^{2}+1}{8-x}+\frac{z^{2}+1}{8-y}+\frac{x^{2}+1}{8-z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 03-04-2015 - 23:20

[Nguyen Minh Hai]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm Max của:

 

$P=\frac{y^{2}+1}{8-x}+\frac{z^{2}+1}{8-y}+\frac{x^{2}+1}{8-z}$

Giả sử: $x \geq y \geq z$

Ta có:

$x^2+1 \geq y^2+1 \geq z^2+1$

$\frac{1}{8-x} \geq \frac{1}{8-y} \geq \frac{1}{8-z}$

Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ số đơn điệu tăng ta được:

$P \geq \frac{1}{3}(x^2+1+y^2+1+z^2+1)(\frac{1}{8-x}+\frac{1}{8-y}+\frac{1}{8-z})$

$=\frac{4}{3}(\frac{1}{8-x}+\frac{1}{8-y}+\frac{1}{8-z})\geq \frac{4}{3}.\frac{9}{24-(x+y+z)}\geq \frac{12}{24-\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}=\frac{12}{24-\sqrt{3}}$

Liệu tồn tại MAX????? Mọi người giải thích giùm?       

[dogsteven]

Giả sử: $x \geq y \geq z$

Ta có:

$x^2+1 \geq y^2+1 \geq z^2+1$

$\frac{1}{8-x} \geq \frac{1}{8-y} \geq \frac{1}{8-z}$

Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ số đơn điệu tăng ta được:

$P \geq \frac{1}{3}(x^2+1+y^2+1+z^2+1)(\frac{1}{8-x}+\frac{1}{8-y}+\frac{1}{8-z})$

$=\frac{4}{3}(\frac{1}{8-x}+\frac{1}{8-y}+\frac{1}{8-z})\geq \frac{4}{3}.\frac{9}{24-(x+y+z)}\geq \frac{12}{24-\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}=\frac{12}{24-\sqrt{3}}$

Liệu tồn tại MAX????? Mọi người giải thích giùm?       

Sai.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 04-04-2015 - 12:46

[Nguyen Minh Hai]

Á mình nhầm.... AD xóa dùm

[hoanglong2k]

Giả sử: $x \geq y \geq z$

Ta có:

$x^2+1 \geq y^2+1 \geq z^2+1$

$\frac{1}{8-x} \geq \frac{1}{8-y} \geq \frac{1}{8-z}$

Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ số đơn điệu tăng ta được:

$P \geq \frac{1}{3}(x^2+1+y^2+1+z^2+1)(\frac{1}{8-x}+\frac{1}{8-y}+\frac{1}{8-z})$

$=\frac{4}{3}(\frac{1}{8-x}+\frac{1}{8-y}+\frac{1}{8-z})\geq$$ \frac{4}{3}.\frac{9}{24-(x+y+z)}\geq \frac{12}{24-\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}$$=\frac{12}{24-\sqrt{3}}$

Liệu tồn tại MAX????? Mọi người giải thích giùm?       

Ngược dấu rồi