Chủ đề này có 6 trả lời

[Vito Khang Scaletta]

Cho $\Delta ABC$ thỏa $\left\{\begin{matrix} \frac{1+\cos C}{\cos C}=\frac{2a+b}{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}} \\ a^{2}(b+c-a)=b^{3}+c^{3}-a^{3} \end{matrix}\right.$ với $A,B,C$ là các góc và $a,b,c$ là các cạnh lần lượt đối diện với các góc $A,B,C$.

Chứng minh rằng $\Delta ABC$ là tam giac đều.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vito Khang Scaletta: 04-04-2015 - 23:30

[Nguyen Minh Hai]

Cho $\Delta ABC$ thỏa $\left\{\begin{matrix} \frac{1+\cos C}{\cos C}=\frac{2a+b}{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}} \\ a^{2}(b+c-a)=b^{3}+c^{3}-a^{3} \end{matrix}\right.$ với $A,B,C$ là các góc và $a,b,c$ là các cạnh lần lượt đối diện với các góc $A,B,C$.

Chứng minh rằng $\Delta ABC$ là tam giac đều.

Ta có:

$a^2(b+c-a)=b^3+c^3-a^3$

$\Leftrightarrow a^2(b+c)=(b+c)(b^2-bc+c^2)$

$\Rightarrow a^2=b^2+c^2-bc$                 (1)

Mặt khác, theo định lí hàm số Cos ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.cosA$                           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $bc=2bc.cosA\Rightarrow cosA=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{A}=60^{\circ}$

[Vito Khang Scaletta]

Ta có:

$a^2(b+c-a)=b^3+c^3-a^3$

$\Leftrightarrow a^2(b+c)=(b+c)(b^2-bc+c^2)$

$\Rightarrow a^2=b^2+c^2-bc$                 (1)

Mặt khác, theo định lí hàm số Cos ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.cosA$                           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $bc=2bc.cosA\Rightarrow cosA=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{A}=60^{\circ}$

Cảm ơn bạn nhưng cách này chỉ chứng minh được 1 góc $A=60^{\circ}$ chứ chưa thể suy ra đây là tam giác đều được (ít nhất phải có 2 góc 60).

Và cả cái điều kiện đầu tiên cũng chưa được sử dụng tới, có cách nào sử dụng cái đó để chứng minh thêm 1 góc B hay C nữa bằng gó A không bạn...

[Nguyen Minh Hai]

Cảm ơn bạn nhưng cách này chỉ chứng minh được 1 góc $A=60^{\circ}$ chứ chưa thể suy ra đây là tam giác đều được (ít nhất phải có 2 góc 60).

Và cả cái điều kiện đầu tiên cũng chưa được sử dụng tới, có cách nào sử dụng cái đó để chứng minh thêm 1 góc B hay C nữa bằng gó A không bạn..

Ừ thì mình củng biết rồi đó....và đang suy nghĩ về cái giả thiết thứ nhất....mình góp cho bạn một phần lời giải của bài toán  

[LzuTao]

Cho $\Delta ABC$ thỏa $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1+\cos C}{\cos C}=\dfrac{2a+b}{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}} \\ a^{2}(b+c-a)=b^{3}+c^{3}-a^{3} \end{matrix}\right.$ với $A,B,C$ là các góc và $a,b,c$ là các cạnh lần lượt đối diện với các góc $A,B,C$.

Chứng minh rằng $\Delta ABC$ là tam giac đều.

Về điều kiện thứ nhất, thay $C=\dfrac{\pi}{3}$ và $a=b$ vào ta có:

$VT=3$ và $VP=\sqrt3$ ???

Bạn kiểm tra lại đề thử

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 25-07-2015 - 16:16

[VoHungHuu]

Về điều kiện thứ nhất, thay $C=\dfrac{\pi}{3}$ và $a=b$ vào ta có:

$VT=3$ và $VP=\sqrt3$ ???

Bạn kiểm tra lại đề thử

Đề sai rồi đó bạn à, phải là $\frac{1+cosC}{sinC}$

[LzuTao]

Đề sai rồi đó bạn à, phải là $\frac{1+cosC}{sinC}$

Nếu Đk 1 như trên thì ta giải như sau:

$\dfrac{1+\cos C}{\sin C}=\dfrac{2a+b}{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{1+\cos C}}{\sqrt{1-\cos C}}=\frac{\sqrt{2a+b}}{\sqrt{2a-b}}\\\Leftrightarrow 2a\cos C-b=0\Leftrightarrow 2a\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=b\Leftrightarrow a=c$

Kết hợp với chứng minh góc A=60 của bạn Nguyen Minh Hai

Ta suy ra đpcm.